第二十八章 锐角三角函数
本章小结
小结1 本章概述
锐角三角函数、解直角三角形，它们既是相似三角形及函数的继续，也是继续学习三角形的基础．本章知识首先从工作和生活中经常遇到的问题人手，研究直角三角形的边角关系、锐角三角函数等知识，进而学习解直角三角形，进一步解决一些简单的实际问题．只有掌握锐角三角函数和直角三角形的解法，才能继续学习任意角的三角函数和解斜三角形等知识，同时解直角三角形的知识有利于培养数形结合思想，应牢固掌握．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】 通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数(sin A，cos A，tan A)，知道30°，45°，60°角的三角函数值，会运用三角函数知识解决与直角三角形有关的简单的实际问题．
【本章难点】 综合运用直角三角形的边边关系、边角关系来解决实际问题．
【学习本章应注意的问题】
在本章的学习中，应正确掌握四种三角函数的定义，熟记特殊角的三角函数值，要善于运用方程思想求直角三角形的某些未知元素，会运用转化思想通过添加辅助线把不规则的图形转化为规则的图形来求解，会用数学建模思想和转化思想把一些实际问题转化为数学模型，从而提高分析问题和解决问题的能力．
小结3 中考透视
这一章在中考中主要考查一些特殊角的三角函数值及几个三角函数间的关系，主要题型是选择题、填空题．另外解直角三角形在实际问题中的应用也是考查的一个重点，主要题型是填空题和解答题，约占3～7分．
知识网络结构图
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1：锐角三角函数的定义
【专题解读】 锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主．
例1 如图28－123所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是 ( )
A．sin A＝ B．tan A＝
C．cosB＝ D．tan B＝
分析 sinA＝ ＝ ，tan A＝ ＝ ，cos B＝ ＝ ．故选D.
例2 在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ,则tan A等于 ( )
A． B． C． D．
分析 在Rt△ABC中，设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，由定义可知tan A＝ ．故选D.
分析 在Rt△ABC中，BC＝ ＝3，∴sin A＝ ．故填 ．
专题2 特殊角的三角函数值
【专题解读】 要熟记特殊角的三角函数值．
例4 计算－3＋2cos 45°－( －1)0．
分析 cos 45°＝ ．
解：原式＝3＋2× －1＝ ＋2．
例5 计算－ ＋ ＋(－1)2007－cos 60°．
分析 cos 60°＝ ．
解：原式＝ ＋3＋(－1)－ ＝3－1＝2．
例6 计算－ ＋(cos 60°－tan 30°)0＋ ．
分析 cos 60°＝ ，tan 30°＝ ，∴cos 60°－tan 30°≠0，∴(cos 60°－tan 30°)0＝1，
解：原式＝ ＋1十＋2 ＝3 ＋1．
例7 计算 －(π－3.14)0－1－tan 60°－ .
分析 tan 60°＝ .
解：原式＝8－1－ ＋1＋ ＋2＝10.
专题3 锐角三角函数与相关知识的综合运用
【专题解读】 锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查综合运用知识解决问题的能力.
例8 如图28－124所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，E为AC边的中点，BC＝14，AD＝12，sin B＝ ．
(1)求线段DC的长；
(2)求tan∠EDC的值.
分析 在Rt△ABD中，由sinB＝ ，可求得BD，从而求得CD．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得DE＝ AC＝EC，则∠EDC＝∠C，所以求tan∠EDC可以转化为求tan C.
解：(1)∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC
在Rt△ABD中，sin B＝ ．
∵AD＝12，sin B＝ ，∴AB＝15，
∴BD＝ ＝ ＝9．
∵BC＝14，∴CD＝5．
(2)在Rt△ADC中，∵AE＝EC，∴DE＝ AC＝EC，
∴∠EDC＝∠C
∵tan C＝ ＝ ,∴tan∠EDC＝tan C＝ ．
例9 如图28－125所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B＝cos∠DAC.
(1)求证AC＝BD；
(2)若sin C＝ ，BC＝12，求AD的长．
分析 (1)利用锐角三角函数的定义可得AC＝BD．(2)利用锐角三角函数与勾股定理可求得AD的长．
证明：(1)∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°．
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵tan B＝ ，cos∠DAC＝ ，tan B＝cos∠DAC，
∴ ＝ ，∴AC＝BD.
解：(2)在Rt△ADC中，sin C＝ ，设AD＝12k，AC＝13k，
∴CD＝ ＝5k．
∵BC＝BD＋CD，AC＝BD，
∴BC＝13k＋5k＝18k．
由已知BC＝12，∴18k＝12，k＝ ，
∴AD＝12k＝12× ＝8．
例10 如图28－126所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝30＋30 ，求AB的长．
分析 过点A作AD⊥BC于D，把斜三角形转化为直角三角形，利用AD是两个直角三角形的公共边，设AD＝x，把BD，DC用含x的式子表示出来，再由BD＋CD＝BC这一等量关系列方程，求得AD，则AB可在Rt△ABD中求得．
解：过点A作AD⊥BC于D，设AD＝x.
在Rt△ADB中，tanB＝ ，∴BD＝ ＝x，
在Rt△ADC中，tan C＝ ，∴CD＝ ＝ ＝ x．
又∵BD＋CD＝BC，BC＝30＋30 ，
∴x＋ x＝30＋30 ,∴x＝30．
在Rt△ABD中，sin B＝ ，
∴AB＝ ＝ ＝30 .
专题4 用锐角三角函数解决实际问题
【专题解读】 加强数学与实际生活的联系，提高数学的应用意识，培养应用数学的能力是当今数学改革的方向，围绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑测量问题、高度测量问题等，解决各类应用问题时要注意把握各类图形的特征及解法．
例11 如图28－127所示，小山上有一棵树，现有一测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚的水平地面上测出小树顶端A到水平地面上的距离AB．
(1)画出测量示意图；
(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示)；
(3)根据(2)中的数据计算AB．
解：(1)测量示意图如图28—128所示．
(2)测量步骤．
第一步：在地面上选择点C安装测角仪，测得此时小树顶端A的仰角∠AHE＝α.
第二步：沿CB方向前进到点D，用皮尺量出C，D之间的距离
CD＝m．
第三步：在点D安装测角仪，测得此时小树顶端A的仰角
∠AFE＝β.
第四步：用皮尺测出测角仪的高h．
(3)令AE＝x，则tan α＝ ，得HE＝ .
又tan β＝ ，得EF＝ ，
∵HE－FE＝HF＝CD＝m，
∴ ＝m，解得x＝ ．
∴AB＝ ＋h．
例12 如图28－129所示，一条小船从港口A出发，沿北偏东40°方向航行20海里后到达B处，然后又沿北偏西30°方向航行10海里后到达C处，则此时小船距港口A多少海里?(结果保留整数，提示：sin 40°≈0.6428，cos 40°≈0.7660，tan 40°≈0．8391， ≈1.732)
分析 此题可作CD⊥AP构造直角三角形求AC，而CD，AD的长可转移到其他三角形中解决，可作BE⊥AD，CF⊥BE，CF，BF在Rt△BCF中可求，进而求解．
解：如图28－130所示，过点B作BE⊥AP，垂足为点E，过点C分别作CD⊥AP，CF⊥BE，垂足分别为点D，F，则四边形CDEF为矩形，
∴CD＝EF，DE＝CF．
∵∠QBC＝30°，∴∠CBF＝60°．
∵AB＝20，∠BAD＝40°，
∴AE＝AB?cos 40°≈20×0.7660≈15.3，
BE＝AB?sin 40°≈20×0.6428＝12.856≈12.9．
又∵BC＝10，∠CBF＝60°，
∴CF＝BC?sin 60°≈10× ＝5 ≈8.7，
BF＝BC?cos 60°＝10×0.5＝5，
∴CD＝EF＝BE－BF≈12.9－5＝7.9．
∵DE＝CF≈8.7，∴AD＝DE＋AE≈8.7＋15.3＝24.0，
由勾股定理得AC＝ ≈ ＝ ≈25，
即此时小船距港口A约25海里．
【解题策略】 正确理解方位角，作出恰当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
例13 如图28－131所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得∠CAD＝45°，又在距A处60米远的B处测得∠CBA＝30°，请你根据这些数据算出河宽是多少?(结果保留小数点后两位)
分析 本题可作CE⊥AB，垂足为E，求出CE的长即为河宽．
解：如图28－131所示，过点C作CE⊥AB于E，则CE即为河宽，
设CE＝x(米)，则BE＝x＋60(米)．
在Rt△BCE中，tan30°＝ ，即 ＝ ,
解得x＝30( ＋1)≈81.96(米)．
答：河宽约为81．96米．
【解题策略】 解本题的关键是设CE＝x，然后根据BE＝AB＋AE列方程求解．
例14 如图28－132所示，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边可以看成是直线)向前跑到C点再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米/秒．若∠BAD＝45°，∠BCD＝60°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B．(参考数据 ≈1.4， ≈1.7)
分析 在Rt△ABD中，已知∠A＝45°和AD，可求AB，BD，在Rt△BCD中，可利用求出的BD和∠BCD＝60°求出BC，然后根据计算出的数据判断谁先到达．
解：在Rt△ABD中，∠A＝45°，∠D＝90°，AD＝300，
∴AB＝ ＝300 .
＝tan 45°，即BD＝AD?tan 45°＝300．
在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，∠D＝90°，
∴BC＝ ＝200 ，CD＝ ＝ ＝100 .
1号救生员到达B点所用的时间为 ＝150 ≈210(秒)，
2号救生员到达B点所用的时间为 ＝50＋ ≈192(秒)，
3号救生员到达B点所用的时间为 ＋ ＝200(秒)．
∵192＜200＜210.∴2号求生员先到达营救地点B.
【解题策略】 本题为阅读理解题，题目中的数据比较多，正确分析题意是解题的关键．
例15 如图28－133所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在它的北偏东60°方向上，该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上；已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若货船继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险?试说明理由．
分析 本题可作CD⊥AM于点D，在Rt△BCD中求出CD即可．
解：过点C作CD⊥AM，垂足为点D，
由题意得∠CBD＝60°，∠CAB＝30°,
∴∠ACB＝30°，∠CAB＝∠ACB，
∴BC＝AB＝24× ＝12(海里)．
在Rt△BCD中，CD＝BC×sin 60°＝6 (海里)．
∵6 ＞9，∴货船继续向正东方向航行无触礁危险．
【解题策略】 此题实际上是通过⊙C(半径为9海里)与直线AM相离判断出无触礁危险.
例16 如图28－134所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距8米的A，B两处测得D点和C点的仰角分别为45°和60°，且A，B，F三点在一条直线上，若BE＝15米，求这块广告牌的高度．( ≈1.73，结果保留整数)
分析 由于CD＝CE－DE，所以可分别在Rt△AED和Rt△BEC中求DE，CE的长，从而得出结论．
解：∵AB＝8，BE＝15，∴AE＝23．
在Rt△AED中，∠DAE＝45°，∴DE＝AE＝23．
在Rt△BEC中，∠CBE＝60°，∴CE＝BE?tan 60°＝15 ，
∴CD＝CE－DE＝15 －23≈3，
即这块广告牌的高度约为3米．
例17 如图28－135所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD＝2.5m，坝高4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求坝底宽BC.
分析 坡度即坡角的正切值，所以分别过A，D两点向坝底引垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形．
解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
由题意可知tanB＝1，tan C＝ ，
在Rt△ABE中，AE＝4，tanB＝ ＝1，∴BE＝AE＝4，
在Rt△DFC中，DF＝AE＝4，tanC＝ ，
∴CF＝1．5DF＝1.5×4＝6．
又∵EF＝AD＝2.5，
∴BC＝BE＋EF＋FC＝4＋2.5＋6＝12．5．
答：坝底宽BC为12．5 m．
【解题策略】 背水坡是指AB，而迎水坡是指CD.
例18 如图28－136所示，山顶建有一座铁塔，塔高CD＝30m，某人在点A处测得塔底C的仰角为20°，塔顶D的仰角为23°，求此人距CD的水平距离AB．(参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364，sin 23°≈0.391，cos 23°≈0.921，tan 23°≈0.424)
分析 要求AB的值，由于两个直角三角形中都只有角的已知条件，不能直接求解，所以设AB为未知量，即用AB表示BD和BC，根据BD－BC＝CD＝30，列出关于AB的方程．
解：在Rt△ABC中，∠CAB＝20°，
∴BC＝ABtan∠CAB＝ABtan 20°．
在Rt△ABD中，∠DAB＝23°，
∴BD＝ABtan∠DAB＝ABtan 23°．
∴CD＝BD－BC＝ABtan 23°－ABtan 20°＝AB(tan 23°－tan 20°)．
∴AB＝ ≈ ＝500(m)．
答：此人距CD的水平距离AB约为500 m．
二、规律方法专题
专题5 公式法
【专题解读】 本章的公式很多，熟练掌握公式是解决问题的关键．
例19 当0°＜α＜90°时，求 的值．
分析 由sin2α＋cos2α＝1，可得1－sin2α＝cos2α
解：∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α．
∴ .
∵0°＜a＜90°，∴cosα＞0．
∴原式＝ ＝1．
【解题策略】 以上解法中，应用了关系式sin2α＋cos2α＝1(0°＜α＜90°)，这一关系式在解题中经常用到，应当牢记，并灵活运用．
三、思想方法专题
专题6 类比思想
【专题解读】 求方程中未知数的过程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的过程叫做解直角三角形，因此对解直角三角形的概念的理解可类比解方程的概念．我们可以像解方程(组)一样求直角三角形中的未知元素．
例20 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知a＝ ，b＝ ，解这个直角三角形．
分析 已知两直角边长a，b，可由勾股定理c＝ 求出c，再利用sin A＝ 求出∠A，进而求出∠B＝90°－∠A．
解：∵∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2．
∴c＝ .
又∵sin A＝ ，∴∠A＝30°．
∴∠B＝90°－∠A＝60°．
【解题策略】 除直角外，求出Rt△ABC中的所有未知元素就是解直角三角形．
专题7 数形结合思想
【专题解读】由“数”思“形”，由“形”想“数”，两者巧妙结合，起到互通、互译的作用，是解决几何问题常用的方法之一．
例21 如图28－137所示，已知∠α的终边OP⊥AB，直线AB的方程为y＝－ x＋ ，则cosα等于 ( )
A． B．
C． D．
分析 ∵y＝－ x＋ ，∴当x＝0时，y＝ ，当y＝0时，x＝1，∴A(1，0)，B ，∴OB＝ ，OA＝1，∴AB＝ ＝ ，∴cos∠OBA＝ . ∴OP⊥AB，∴∠α＋∠OAB＝90°，又∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∴∠α＝∠OBA．∴cosα＝cos∠OBA＝ ．故选A.
专题8 分类讨论思想
【专题解读】 当结果不能确定，且有多种情况时，对每一种可能的情况都要进行讨论．
例22 一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向上还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30 km，B，C间的距离是60 km．要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，求交叉口P与加油站A的距离．(结果可保留根号)
解：①如图28－138(1)所示，
在Rt△BDC中，∵CD＝30，CB＝60，∴∠B＝30°．
又PC＝PB，∴∠CPD＝60°，∴DP＝10 ．
故AP＝AD＋DP＝(30＋10 )km．
②同理，如图28－138(2)所示，可求得AP＝(30－10 )km，
故交叉口P与加油站A的距离为(30＋10 )km或(30－10 )km．
【解题策略】 此题针对P点的位置分两种情况进行讨论，即点P在线段AB上或点P在线段BA的延长线上．
专题9 转化思想
【专题解读】 本章中的转化思想主要应用在把直角三角形的线段比转化为三角函数值、把实际问题转化为数学问题、把斜三角形问题转化为直角三角形问题等．
例23 如图28－139所示，某校楼的后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，BC∥AD，斜坡AB的长为22 m，坡角∠BAD＝68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．
(1)求改造前坡顶与地面的距离；
(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC改到F点处，则BF至少是多少米?(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 68°≈0.9272，cos 68°≈0.3746，tan 68°≈2.4751，sin 50°≈0.7660，cos 50°≈0.6428，tan 50°≈1.1918)
分析 将实际问题转化为数学问题是解题关键．
解：(1)过B作BE⊥AD于E，
则在Rt△ABE中，sin∠BAE＝ ，
∴BE＝AB?sin 68°＝22sin 68°≈20.4(m)．
(2)过F作FG⊥AD于G，连接FA，则FG＝BE．
∵AG＝ ≈17.12，AE＝AB?cos 68°＝22cos 68°≈8．24，
∴BF＝GE＝AG－AE≈8.88≈8.9(m)．
例24 如图28－140所示，A，B两城市相距100 km．现计划在这两座城市中间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50 km为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区．为什么?(参考数据： ≈1.732， ≈1.414)
解：过点P作PC⊥AB，C是垂足，
则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝PC?tan 30°，BC＝PC?tan 45°，
∵AC＋BC＝AB，
∴PC?tan 30°＋PC?tan 45°＝100，
∴( ＋1)PC＝100，
∴PC＝50(3－ )≈50×(3－1.732)≈63．4＞50．
答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．
例25 小鹃学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图28－141所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上．已知α＝36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．(结果保留整数；参考数据：sin 36°≈0．6，cos 36°≈0．8，tan 36°≈0.7)
解：作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．
∵α＋∠DAF＝180°－∠BAD＝180°－90°＝90°，
∠ADF＋∠DAF＝90°，
∴∠ADF＝α＝36°．
根据题意，得BE＝24 mm，DF＝48 mm．
在Rt△ABE中，sinα＝ ，
∴AB＝ ≈ ＝40(mm)．
在Rt△ADF中，cos∠ADF＝ ，
∴AD＝ ≈ ＝60(mm)．
∴矩形ABCD的周长＝2(40＋60)＝200(mm)．
例26 如图28－142所示，某居民楼I高20米，窗户朝南．该楼内一楼住户的窗台离地面距离CM为2米，窗户CD高1．8米．现计划在I楼的正南方距1楼30米处新建一居民楼Ⅱ．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I楼所有住户的采光，新建Ⅱ楼最高只能盖多少米?
解：设正午时光线正好照在I楼的一楼窗台处，此时新建居民楼
Ⅱ高x米．
过C作CF⊥l于F，
在Rt△ECF中，EF＝(x－2)米，FC＝30米，∠ECF＝30°，
∴tan 30°＝ ,∴＝10 ＋2．
答：新建居民楼Ⅱ最高只能建(10 ＋2)米．
2011中考真题精选
一、选择题
1. （2011江苏连云港，14，3分）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.
考点：锐角三角函数的定义；勾股定理。
专题：网格型。
分析：设小方格的长度为1，过C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的长，然后根据锐角三角函数的定义求出sinA．
解答：解：过C作CD⊥AB，垂足为D，设小方格的长度为1，
在Rt△ACD中，AC= =2 .∴sinA= = ，
故答案为 ．
点评：本题主要考查锐角三角函数的定义和勾股定理的知识点，此题比较简单，构造一个直角三角形是解答本题的关键．
2. （2011江苏苏州，9，3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分?是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（ ）
A． B． C． D．
考点：锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理；三角形中位线定理．
专题：几何图形问题．
分析：根据三角形的中位线定理即可求得BD的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△BCD是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解．
解答：解：连接BD．
∵E、F分?是AB、AD的中点．
∴BD=2EF=4
∵BC=5，CD=3
∴△BCD是直角三角形．
∴tanC=
故选B．
点评：本题主要考查了三角形的中位线定义，勾股定理的逆定理，和三角函数的定义，正确证明△BCD是直角三角形是解题关键．
3. （2011江苏镇江常州，6，2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC= ，BC=2，则sin∠ACD的值为（ ）
A． B．
C． D．
考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．
专题：应用题．
分析：在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B=∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求sinB．
解答：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB= = =3．
∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD．
∴sin∠ACD=sin∠B= = ，
故选A．
点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．
4. （2011山东日照，10，4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA= ．则下列关系式中不成立的是（ ）
A．tanA?cotA=1B．sinA=tanA?cosA C．cosA=cotA?sinAD．tan2A+cot2A=1
考点：同角三角函数的关系。
专题：计算题。
分析：可根据同角三角函数的关系：平方关系；正余弦与正切之间的关系（积的关系）；正切之间的关系进行解答．
解答：解：根据锐角三角函数的定义，得
A、tanA?cotA= =1，关系式成立；
B、sinA= ，tanA?cosA= ，关系式成立；
C、cosA= ，cotA?sinA= ，关系式成立；
D、tan2A+cot2A=（ ）2+（ ）2≠1，关系式不成立．
故选D．
点评：本题考查了同角三角函数的关系．（1）平方关系：sin2A+cos2A=1 （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA= 或sinA=tanA?cosA．
（3）正切之间的关系：tanA?tanB=1．
5. （2011陕西，5，3分）在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足 BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
考点：锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理。
专题：计算题。
分析：根据三角形余弦表达式即可得出结果．
解答：解：根据三角函数性质 cosB= = ，
故选C．
点评：本题主要考查了锐角三角函数的定义及比例关系，比较简单．
6.（2011天津，1，3分）sin45°的值等于（ ）
A. B. C. D.1
考点：特殊角的三角函数值。
分析：根据特殊角度的三角函数值解答即可．
解答：解：sin45°= ．
故选B．
点评：此题比较简单，只要熟记特殊角度的三角函数值即可．
7. （2011?贵港）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AD=2 ，则tan∠CAD的值是（ ）
A、2B、
C、 D、
考点：锐角三角函数的定义；勾股定理。
专题：常规题型。
分析：根据中线的定义可得CD=BD，然后利用勾股定理求出AC的长，再根据正切等于对边：邻边列式求解即可．
解答：解：∵AD是BC边上的中线，BD=4，
∴CD=BD=4，
在Rt△ACD中，AC= = =2，
∴tan∠CAD= = =2．
故选A．
点评：本题考查了正切的定义以及勾股定理的应用，熟记直角三角形中，锐角的正切等于对边：邻边是解题的关键．
8.（2011山东烟台，9，4分）如果△ABC中，sinA=cosB= ，则下列最确切的结论是（ ）
A. △ABC是直角三角形 B. △ABC是等腰三角形
C. △ABC是等腰直角三角形 D. △ABC是锐角三角形
考点：特殊角的三角函数值.
分析：根据特殊角的三角函数值，直接得出∠A，∠B的角度从而得出答案．
解答：解：∵sinA=cosB= ，∴∠A=∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选C．
点评：此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确的记忆特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
10. （2011四川达州，8，3分）如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：特殊角的三角函数值；实数与数轴。
专题：计算题。
分析：先根据数轴上A点的位置确定出其范围，再根据特殊角的三角函数值对四个选项进行分析即可．
解答：解：由数轴上A点的位置可知， ＜A＜2．
A、由 sin30°＜x＜sin60°可知， × ＜x＜ ，即 ＜x＜ ，故本选项错误；
B、由cos30°＜x＜ cos45°可知， ＜x＜ × ，即 ＜x＜ ，故本选项错误；
C、由 tan30°＜x＜tan45°可知， × ＜x＜1，即 ＜x＜1，故本选项错误；
D、由 cot45°＜x＜cot30°可知， ×1＜x＜ ，即 ＜x＜ ，故本选项正确．
故选D．
点评：本题考查的是特殊角的三角函数值及在数轴的特点，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
9.（2011甘肃兰州，4，4分）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为（ ）
A． B． C． D．
考点：锐角三角函数的定义；旋转的性质．
分析：过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．
解答：解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．
根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB= CD：BD= ，
∴tanB′=tanB= ．
故选B．
点评：本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．
10 （2011甘肃兰州，8，4分）点M（－sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（ ， ）B．（ ， ）C．（ ， ） D．（ ， ）
考点：特殊角的三角函数值；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析：先根据特殊三角函数值求出M点坐标，再根据对称性解答．
解答：解：∵sin60°= ，cos60°= ，∴点M（－ ， ）．
∵点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，-n），
∴M关于x轴的对称点的坐标是（－ ，－ ）．故选B．
点评：考查平面直角坐标系点的对称性质，特殊角的三角函数值．
11. （2011广东省茂名，8，3分）如图，已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（ ）
A、sinA=cosAB、sinA＞cosA
C、sinA＞tanAD、sinA＜cosA
考点：锐角三角函数的增减性。
专题：计算题。
分析：根据锐角三角函数的增减性sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，直接得出答案即可．
解答：解：∵45°＜A＜90°，
∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，
当∠A＞45°时，sinA＞cosA，
故选：B．
点评：此题主要考查了锐角三角函数的增减性，正确的利用锐角三角函数的增减性是解决问题的关键．
12. （2011?宜昌，11，3分）如图是用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC= ，则边BC的长为（ ）
A、30 cmB、20 cmC、10 cmD、5 cm
考点：解直角三角形；特殊角的三角函数值。
专题：计算题。
分析：因为教学用的直角三角板为直角三角形，所以利用三角函数定义，一个角的正切值等于这个角的对边比邻边可知角BAC的对边为BC，邻边为AC，根据角BAC的正切值，即可求出BC的长度．
解答：解：在直角三角形ABC中，根据三角函数定义可知：
tan∠BAC= ，又AC=30cm，tan∠BAC= ，
则BC=ACtan∠BAC=30× =10 cm．
故选C．
点评：此题考查学生掌握三角函数正弦、余弦及正切的定义，是一道基础题．要求注意观察生活中的数学问题，培养学生利用数学知识解决实际问题的能力，体现了数学来自于生活且服务于生活．
13. （2011湖北随州，9，3）cos30°＝（ ）
A、 B、 C、 D、
考点：特殊角的三角函数值。
专题：计算题。
分析：直接根据cos30°＝ 进行解答即可．
解答：解：因为cos30°＝ ，
所以C正确．
故选C．
点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
14. （2011?玉林，2，3分）若∠α的余角是30°，则cosα的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
考点：特殊角的三角函数值。
专题：计算题。
分析：先根据题意求得α的值，再求它的余弦值．
解答：解：∠α=90°?30°=60°，
cosα=cos60°= ．
故选A．
点评：本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
【相关链接】特殊角三角函数值：
sin30°= ，cos30°= ，tan30°= ，cot30°= ；
sin45°= ，cos45°= ，tan45°=1，cot45°=1；
sin60°= ，cos60°= ，tan60°= ，cot60°= ．
互余角的性质：两角互余其和等于90度．
15.（2011广西防城港 2，3分）若∠α的余角是30°，则cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
考点：特殊角的三角函数值
专题：解直角三角形
分析：先根据题意求得α的值，再求它的余弦值．∠α＝90°－30°＝60°，cosα＝cos60°＝ ．
解答：A
点评：本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题．填空题为主．特殊角三角函数值：sin30°＝ ，cos30°＝ ，tan30°＝ ，cot30°＝ ；sin45°＝ ，cos45°＝ ，tan45°＝1，cot45°＝1；sin60°＝ ，cos60°＝ ，tan60°＝ ，cot60°＝ ．
16.（2011年广西桂林，6，3分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，
则sinA的值为（ ）．
A． B．
C． D．
考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．
分析：直角三角形中，正弦值是角的对边与斜边的比值；先求出斜边AB的值，然后，即可解答．
答案：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=5；
∴sinA= = ．
故选C．
点评：本题考查了锐角三角函数值的求法及勾股定理的应用，熟记公式才能正确运用．
17.（2011广西来宾，6，3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则∠A的余弦值是
A. B. C. D.
考点：锐角三角函数的定义；勾股定理。
专题：计算题。
分析：先根据勾股定理，求出AC的值，然后再由余弦=邻边÷斜边计算即可．
解答：解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=4，
∴cosA= = ．
故选C．
18. （2011湖州，4，3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（ ）
A．2 B． C． D．
考点：锐角三角函数的定义.
分析：根据tanA是角A的对边比邻边，直接得出答案tanA的值．
解答：解：∵∠C=90°，BC=1，AC=2，∴tanA= ．故选B．
点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练记忆锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
19. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA的值是（ ）A、 B、 C、 D、
【答案】A
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
【专题】待定系数法．
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，sinA为∠A的对边比上斜边，求出即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，∴sinA= ．故选A．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
20． （2011福建莆田，8，4分）如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为（ ）
A． B． C． D．
考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；锐角三角函数的定义．
分析：由四边形ABCD是矩形，可得：∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由折叠的性质可得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，由同角的余角相等，即可得∠DCF=∠AFE，然后在Rt△DCF中，即可求得答案．
解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，
由题意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，
∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，
∴∠DCF=∠AFE，
∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，
∴DF=3，
∴tan∠AFE=tan∠DCF= = ．
故选C．
点评：此题考查了折叠的性质，矩形的性质以及三角函数的性质．解此题的关键是数形结合思想与转化思想的应用．
21. （2011四川遂宁，8，4分）计算2sin30°?sin245°+cot60°的结果是（ ）
A、 +3 B、 + C、 + D、1－ +
考点：特殊角的三角函数值。
专题：计算题。
分析：分别把sin30°的值，sin45°的值，cot60°的值代入进行计算即可．
解答：解：2sin30°?sin245°+cot60°=2× －（ ）2+（ ）2+ =1? + = + ．故选B．
点评：本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°，45°，60°角的特殊角的三角函数值是解题的关键．
22. （2011四川雅安，11,3分）已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB=（ ）
A. B. C. D.
考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义。
专题：推理填空题。
分析：作辅助线（连接AO并延长交圆于E，连CE） 构造直角三角形ACE，在直角三角形中根据锐角三角函数的定义求得角E的正弦值；然后由同弧所对的的圆周角相等知∠B=∠E；最后由等量代换求得∠B的正弦值，并作出选择．
解答：解：连接AO并延长交圆于E，连CE．
∴∠ACE=90°（直径所对的圆周角是直角）；
在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，
∴sin∠E= ；
又∵∠B=∠E（同弧所对的的圆周角相等），
∴sinB= ．
故选D．
点评：本题主要考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义．在求锐角三角函数值时，一般是通过作辅助线构造直角三角形，在直角三角形中解三角函数的三角函数值即可．
23.(2011四川雅安11，3分)已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则 （ ）
A B C D
考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义。
专题：推理填空题。
分析：作辅助线（连接AO并延长交圆于E，连CE） 构造直角三角形ACE，在直角三角形中根据锐角三角函数的定义求得角E的正弦值；然后由同弧所对的的圆周角相等知∠B=∠E；最后由等量代换求得∠B的正弦值，并作出选择．
解答：连接AO并延长交圆于E，连CE．
∴∠ACE=90°（直径所对的圆周角是直角）；
在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，
∴sin∠E= = ；
又∵∠B=∠E（同弧所对的的圆周角相等），
∴sinB= ．
故选D．
点评：本题主要考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义．在求锐角三角函数值时，一般是通过作辅助线构造直角三角形，在直角三角形中解三角函数的三角函数值即可．
二、填空题
1. （2011江苏南京，11，2分）如图，以0为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于 ．
考点：特殊角的三角函数值；等边三角形的判定与性质。
分析：根据作图可以证明△ABC是等边三角形，则∠AOB=60°，据此即可求解．
解答：解：∵OA=OB=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠AOB=cos60°= ．
故答案是： ．
点评：本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解△ABC是等边三角形是解题的关键．
2. （2011江苏镇江常州，11，3分）若∠α的补角为120°，则∠α= 60° ，sinα= ．
考点：特殊角的三角函数值；余角和补角．
专题：计算题．
分析：根据补角的定义，即可求出∠α的度数，从而求出sinα的值．
解答：解：根据补角定义，∠α=180°?120°=60°，
于是sinα=sin60°= ．
故答案为60°， ．
点评：此题考查了特殊角的三角函数值和余角和补角的定义，要熟记特殊角的三角函数值．
3. （2010福建泉州，16，4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB= 5 ，sinA= ．
考点锐角三角函数的定义；勾股定理
分析先利用勾股定理计算出AB，然后根据正弦的定义即可得到∠A的正弦．
解答解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= = =5，∴sinA= = ．故答案为：5， ．
点评本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．
4. （2011福建厦门，14，4分）在△ABC中，若∠C=90°，AC=1，AB=5，则sinB= ．
考点：锐角三角函数的定义。
专题：数形结合。
分析：利用锐角三角函数的定义知：锐角的正弦值= ．
解答：解：∵∠C=90°，AC=1，AB=5（如图），
sinB= = ．
故答案是： ．
点评：本题考查了锐角三角函数的定义．①正弦（sin）等于对边比斜边； ②余弦（cos）等于邻边比斜边； ③正切（tan）等于对边比邻边； ④余切（cot）等于邻边比对边； ⑤正割（sec）等于斜边比邻边； ⑥余割 （csc）等于斜边比对边．
5.（2011天水，16，4）计算：sin230°+tan44°tan46°+sin260°= ．
考点：特殊角的三角函数值；互余两角三角函数的关系。
专题：计算题。
分析：根据特殊角的三角函数值计算．tanA?tan（90°?A）=1．
解答：解：原式= +1+ =2．
故答案为2．
点评：本题考查了特殊角的三角函数值以及互余两角三角函数的关系，牢记三角函数值是解题的关键．
6. （2011山东日照，13，4分）计算sin30°??2= ．
考点：特殊角的三角函数值；绝对值。
专题：计算题。
分析：本题涉及绝对值、特殊角的三角函数值，针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：原式= ?2= ．
故答案为： ．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
7. （2011重庆江津区，15，4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝12，sinA＝ ．
考点：锐角三角函数的定义。
专题：计算题。
分析：在Rt△ABC中，根据三角函数定义sinA＝ 即可求出．
解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝12，
∴根据三角函数的定义得：sinA＝ ＝ ，
故答案为 ．
点评：此题比较简单，考查的是锐角三角函数的定义，解答此类题目的关键是画出图形便可直观解答．
8. （2011内蒙古呼和浩特，24，8）如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D， ．
（1）求证：直线PB是⊙O的切线；
（2）求cos∠BCA的值．
考点：切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
专题：综合题．
分析：（1）连接OB、OP，由 ，且∠D=∠D，根据三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易证得△BOP≌△AOP，则∠PBO=∠PAO=90°；
（2）设PB=a，则BD=2a，根据切线长定理得到PA=PB=a，根据勾股定理得到AD=2 a，又BC∥OP，得到DC=2CO，得到DC=CA= ×2 a= a，则OA= a，利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值．
解答：（1）证明：连接OB、OP，如图，
∵ ，且∠D=∠D，
∴△BDC∽△PDO，
∴∠DBC=∠DPO，
∴BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠BOP
而OB=OC
∴∠OCB=∠CBO
∴∠BOP=∠POA
又∵OB=OA，OP=OP
∴△BOP≌△AOP
∴∠PBO=∠PAO
又∵PA⊥AC
∴∠PBO=90°
∴直线PB是⊙O的切线；
（2）由（1）知∠BCO=∠POA，
设PB=a，则BD=2a
又∵PA=PB=a
∴AD= a，
又∵BC∥OP
∴DC=2CO，
∴DC=CA= ×2 a= a，
∴OA= a，
∴OP= ，
∴cos∠BCA=cos∠POA= ．
点评：本题考查了圆的切线的性质和判定：圆的切线垂直于过切点的半径；过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了三角形相似和全等的判定与性质以及三角函数的定义．
9.（2011?安顺）如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则tan∠OBE= ．
考点：圆周角定理；坐标与图形性质；锐角三角函数的定义。
分析：根据同弧所对的圆周角相等，可证∠ECO=∠OBE．由锐角三角函数可求tan∠ECO= ，即tan∠OBE= ．
解答：解：连接EC．
根据圆周角定理∠ECO=∠OBE．
在Rt△EOC中，OE=4，OC=5，
则tan∠ECO= ．故tan∠OBE= ．
点评：本题重点考查了同弧所对的圆周角相等及解直角三角形的知识．
注意锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．
10. （2011黑龙江大庆，11，3分）计算sin230°+cos230°?tan245°= ? ．
考点：特殊角的三角函数值。
分析：把三角函数的数值代入计算即可．
解答：解：原式=（ ）2+（ ）2?1= + ?1，=? ．故答案是：? ．
点评：本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆函数值是解题的关键．
11. （2011?西宁）计算： sin45°= 1 ．
考点：特殊角的三角函数值。
专题：计算题。
分析：根据特殊角的三角函数值解答．
解答：解：根据特殊角的三角函数值得：sin45°= ，
∴ sin45°= × =1．
故答案为1．
点评：本题主要考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主，比较简单．
12.（2011山东滨州，16，4分）在等腰△ABC中，∠C=90°则tanA=________.
【考点】特殊角的三角函数值；等腰直角三角形．
【分析】根据△ABC是等腰三角形，∠C=90°，求出∠A=∠B=45°，从而求出角A的正切值．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴tanA=tan45°=1，
故答案为1．
【点评】本题涉及到的知识点有：等腰直角三角形、特殊角的三角函数值，解题时牢记特殊角的三角函数值．
13. （2011?莱芜）若a=3?tan60°，则 = 。
考点：分式的化简求值；分式的基本性质；约分；通分；最简分式；最简公分母；分式的乘除法；分式的加减法；特殊角的三角函数值。
专题：计算题。
分析：求出a的值，把分式进行计算，先算括号里面的减法，把除法转化成乘法，再进行约分即可．
解答：解：a=3?tan60°=3? ，
∴原式=
=
=
故答案为： ．
点评：本题主要考查对分式的基本性质，约分、通分，最简分式，最简公分母，分式的加减、乘除运算，特殊角的三角函数值等知识点的理解和掌握，综合运用这些法则进行计算是解此题的关键．
14. （2011山东淄博16，4分）如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在CD，HE上，CM= DM，HN=2NE，HC与NM的延长线交于点P，则tan∠NPH的值为 ．
考点：锐角三角函数的定义。
分析：根据已知首先求出MC=1，HN=2，再利用平行线分线段成比例定理得出 ，进而得出PH=6，即可得出tan∠NPH的值．
解答：解：∵正方体的棱长为3，点M，N分别在CD，HE上，CM= DM，HN=2NE，
∴MC=1，HN=2，
∵DC∥EH，
∴ ，
∵HC=3，
∴PC=3，
∴PH=6，
∴tan∠NPH= ，
故答案为： ．
点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义以及平行线分线段成比例定理等知识，根据已知得出PH的长再利用锐角三角函数的定义求出是解决问题的关键．
15. （2011黑龙江省哈尔滨,19，3分）已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠BPC的值是 ．
考点：锐角三角函数的定义；勾股定理；正方形的性质。
分析：本题可以利用锐角三角函数的定义、勾股定理以及正方形的性质求解．
解答：解：此题有两种可能：
（1）∵BC=2，DP=1，∠C=90°，
∴tan∠BPC= =2；
（2）∵DP=1，DC=2，
∴PC=3，
又∵BC=2，∠C=90°，
∴tan∠BPC= ．
故答案为：2或 ．
点评：本题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理以及正方形的性质，解题的关键是利用图形考虑此题有两种可能，要依次求解．
16. （2011湖北武汉，13，3分）sin30°的值为．
考点：特殊角的三角函数值。
分析：根据特殊角的三角函数值计算即可．
解答：解：sin30°= ，故答案为 ．
点评：本题考查了特殊角的三角函数值，应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
三、解答题
1. （2011新疆建设兵团，20，8分）如图，在△ABC中，∠A＝90°．
（1）用尺规作图的方法，作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1（保留作图痕迹）；
（2）若AB＝3，BC＝5，求tan∠AB1C1．
考点：作图－旋转变换；锐角三角函数的定义．
分析：（1）作出∠CAB的平分线，在平分线上截取AB1＝AB，再作出AB1的垂线，即可得出答案．
（2）利用旋转的性质得出AB1＝3，AC1＝4，再利用锐角三角函数的定义即可求出．
解答：解：（1）作∠CAB的平分线，在平分线上截取AB1＝AB，
作C1A⊥AB1，在AC1上截取AC1＝AC，
如图所示即是所求．
（2）∵AB＝3，BC＝5，
∴AC＝4，
∴AB1＝3，AC1＝4，
tan∠AB1C1＝AC1AB1＝43．
点评：此题主要考查了做旋转图形和锐角三角函数的定义，根据已知熟练记忆锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
2. （2011浙江金华，17，6分）(本题6分)
计算：－1－ －（5－π）0+4cos45°.
考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；二次根式的混合运算。
专题：计算题。
分析：本题涉及绝对值、二次根式化简、零指数幂、特殊角的三角函数值四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解】原式=1－ ×2 －1+4× =
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
3.（2011浙江丽水，17，6分）计算： ．
考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；二次根式的混合运算。
专题：计算题。
分析：本题涉及绝对值、二次根式化简、零指数幂、特殊角的三角函数值四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解： ，
= ，
= ．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
4. （2011浙江衢州，17，6分）（1）计算：?2?（3?π）0+2cos45°；
考点：特殊角的三角函数值；分式的加减法；零指数幂。
专题：计算题。
分析：（1）根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值的性质化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出结果，
解答：解：（1）原式= ，
= ；
点评：本题主要考查了绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值的性质、实数运算法则及同分母分式加减法法则，难度适中．
5.（1）（2011浙江义乌，17（1），3分）计算：20110＋ －2sin45°；
考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；解分式方程。
专题：计算题。
分析：（1）根据零指数幂，以及特殊角的三角函数值即可解答本题，
（2）观察方程可得最简公分母是：2（x－2），两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答．
解答：解：（1）原式＝1＋2 － ，
＝1＋ ；
（2）2（x＋3）＝3（x－2），
解得：x＝12，
检验：当x＝12时，x－2＝12－2＝10≠0，
∴原方程的根是x＝12．
点评：本题考查了零指数幂，以及特殊角的三角函数值，以及解分式方程需转化为整式方程，还要注意一定要验根．
6. （2011黑龙江省哈尔滨,21，6分）先化简，再求代数式 的值，其中x=2cos45°?3．
考点：分式的化简求值；特殊角的三角函数值。
专题：探究型。
分析：先把原式进行化简，再把x=2cos45°?3代入进行计算即可．
解答：解：原式=
=
当x=2cos45°?3时，
原式=
= ．
故答案为： ．
点评：本题考查的是分式的化简求值及特殊角的三角函数值，熟知分式混合运算的法则把原式化为 的形式是解答此题的关键．
7. （2011甘肃兰州，21，7分）已知α是锐角，且sin(α+15°)= .
计算 的值.
考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂.
分析：根据特殊角的三角函数值得出α，然后利用二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质进行化简，根据实数运算法则即可计算出结果．
解答：解：∵sin60°= ，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式=2 ?4× ?1+1+3=3．
点评：本题主要考查了二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质及实数运算法则，难度适中．
8. （2011甘肃兰州，26，9分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA .容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°= .
（2）对于0°
考点：解直角三角形
分析：（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；
（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；
（3）作出直角△ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答．
解答：解：（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，则sad60°= =1．故答案为1．
（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
故答案为0＜sadA＜2．
（3）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A= ．
在AB上取点D，使AD=AC，
作DH⊥AC，H为垂足，令BC=3k，AB=5k，则AD=AC= =4k，
又在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A= ．∴DH=ADsin∠A= k，
AH= = k．
则在△CDH中，CH=AC?AH= k，CD= = k．
于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD= k．
由正对的定义可得：sadA= = ，即sadα= ．
点评：此题是一道新定义的题目，考查了正对这一新内容，要熟悉三角函数的定义，可进行类比解答．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题
1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ，则tan B的值为 ( )
A． B． C． D．
2．已知α为锐角，tanα＝ ，则cosα等于 ( )
A． B． C． D．
3．如图28－143所示，为了确定一条小河的宽度BC，可在C左侧的岸边选择一点A，使得AC⊥BC，若测得AC＝a，∠CAB＝θ，则BC等于 ( )
A．asinθ B．acosθ C．atanθ D.
4．某同学想用所学的知识测量旗杆的高度，在地面距旗杆底部5 m远的地方，他用测倾器测得旗杆顶部的仰角为α，且tanα＝3，则旗杆高等于(不计测倾器的高度) ( )
A．10 m B．12 m C．15 m D．20 m
5．如图28－144所示，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿着倾角为30°的山坡前进1000米到达D处，在D处测得山顶B的仰角为60°，则山的高度BC大约是(结果保留小数点后两位) ( )
A．1366．03米 B．1482．12米
C．1295．93米 D．1508.21米
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝6，sin B＝ ，那么AB的长是 ( )
A．4 B．9 C．3 D．2
7．如图28－145所示，在高楼前的D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到达C点，又测得楼顶的仰角为45°，则该高楼的高度大约为 ( )
A．82米 B．163米 C．52米 D．70米
8．某人沿倾斜角为B的斜坡前进100米，则他上升的最大高度是 ( )
A. 米 B.100sinβ米 C． 米 D．100cosβ米
9．铁路路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为2：3，上底宽6米，路基高4米，则路基的下底宽为 ( )
A．18米 B．15米 C．12米 D．10米
10．观察下列各式：①sin 59°＞sin 28°；②0＜cosα＜1(α是锐角)；③tan 30°＋tan 60°＝tan 90°；④tan 44°＜1．其中成立的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．计算2sin 30°－tan 60°＋tan 45°＝ ．
12．如图28－146所示，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝ ，BC＝ ，
则AB的长为 ．
13．当x＝sin 60°时，代数式 ? ＋ 的值是 ．
14．已知cos 59°24′≈0.509，则sin 30°36′≈ ．
15．若∠A，∠B互余，且tan A－tan B＝2，则tan2A＋tan2B＝ ．
16．如图28－147所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，EC＝1，cosB＝ ，则这个菱形的面积是 .
17．已知正方形ABCD的边长为1，若将线段BD绕着点B旋转后，点D落在DC延长线上的点D′处，则∠BAD′的正弦值为 .
18．如图28－148所示，若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角等于 ．
19．在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝2，AB＝2，则BC＝ ．
20．设θ为锐角，且x2＋3x＋2sinθ＝0的两根之差为 ．则θ＝ ．
三、解答题
21．如图28－149所示，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，BD＝4，AD＝BC，
cos∠ADC＝ ．
(1)求DC的长；
(2)求sinB的值．
22．如图28－150所示，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔船在B处测得灯塔A在它的北偏东60°方向上，向正东方向航行8海里后到达C处，又测得该灯塔在它的北偏东30°方向上，若渔船不改变航向，继续向正东方向航行，有没有触礁的危险?通过计算说明理由．
23．如图28－151所示，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处、楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高与楼高．(结果保留小数点后两位，参考数据： ≈1.414， ≈1.732)
24．如图28—152所示，斜坡AC的坡度(坡比)为1： ，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．
25．阅读下面的材料并回答问题．
如图28－153所示，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过A作AD⊥BC于D，则sinB＝ ，sin C＝ ，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsin C，即 ＝ ，同理， ＝ ， ＝ ，所以 ＝ ＝ ，即在—个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等．
(1)在锐角三角形中，若已知三个元素a，b，∠A，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素c，∠B，∠C，请你按照下面的步骤填空，完成求解过程；
第一步：由条件a，b，∠A 求出∠B；
第二步：由条件∠A，∠B 求出∠C；
第三步：由条件 求出c；
(2)一货轮在C处测得灯塔A在它的北偏西30°方向上，随后货轮以28．4海里／时的速度沿北偏东45°方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西70°方向上(如图28－154所示)，求此时货轮与灯塔A的距离AB．(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 40°≈0．643，sin 65°≈0．906，sin70°≈0.940，sin 75°≈0．966)
参考答案
1．A[提示：设∠A的对边为3k，斜边为5k，则b＝4k，∴tanB＝ ．]
2．A[提示：∵tan α＝ ，∴α＝60°，∴cosα＝ .]
3．C
4．C[提示：tanα＝ ＝3，∴旗杆高为15m．]
5．A[提示：过点D作DF⊥AC，易求DF＝EC＝500，AF＝500 ，由已知条件可知AC＝BC，DE＝FC，∴DE＝BE＋EC－AF＝BE＋500－500 .由tan∠BDE＝ 列方程求解．] 6．B[提示：∵sin B＝ ，∴AB＝ ＝9．]
7．A[提示：设AB＝x，则BC＝x，BD＝60＋x，在Rt△ABD中，tan 30°＝ ∴x＝(60＋x)? ，∴x≈82．]
8．B
9．A[提示：由题意画图可得答案．]
10．C[提示：sin 59°＞sin 28°成立，0＜cosα＜1(α是锐角)成立，tan 30°＋tan 60°＝ ＋ ≠tan 90°，tan 44°＜tan 45°，即tan 44°＜1．]
11．2－ [提示：2sin 30°－tan 60°＋tan 45°＝2× － ＋1＝2－ .]
12．3＋ [提示：过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△BDC中，tan B＝ ．∴ ，∴BD＝3CD，∵BC＝ ，∴CD2＋(3CD)2＝( )2，∴CD＝1，BD＝3．在Rt△ADC中，tan A＝ ，∴AD＝ ，∴AB＝AD＋BD＝3＋ .]
13． [提示：∵ ? ＋ ＝2x，∴原式＝2sin 60°＝ ．]
14．0.509[提示：sin 30°36′＝cos 59°24′．]
15．6[提示：∵∠A，∠B互余，∴tan A?tan B＝1，tan2A＋tan2B＝(tan A－tan B)2＋2tan A?tan B＝22＋2＝6．]
16． [提示：∵cos B＝ ，设BE＝5x，则AB＝13x，∴AE＝ ＝12x．∵AB＝BC＝BE＋CE，∴13x＝5x＋1，∴x＝ ，则AE＝12x＝12× ＝ ，BC＝5x＋1＝5× ＋1＝ ，∴S＝ × ＝ ．]
17． [提示:如图28－155所示，根据题意得DD′＝2DC，设正方形的边长为x，则AD＝x，DD′＝2x．∵∠ADD′＝90°，根据勾股定理得AD′＝ ＝ x．∵AD＝x，∴sin∠AD′D＝ ＝ .∵AB∥DD′，∴∠BAD′＝∠AD′D，∴sin∠BAD′＝ ．]
18．30°[提示：如图28＝156所示，∵S ABCD＝ S矩形BEFC，且BC＝BC(底相同)， ∴GC＝ FC．∵CF＝DC，∴GC＝ DC， ．∵∠DGC＝90°，sin 30°＝ ，∴∠CDG＝30°，即这个平行四边形的一个最小内角为30°．]
19． ＋
20．30°[提示：x1?x2＝2sinθ，x1＋x2＝－3，则(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝9－8sinθ＝( )2，∴sinθ＝ ，∴θ＝30°．]
21．解：(1)∵cos∠ADC＝ ，∴设CD＝3x，则AD＝5x，AC＝4x，∴BC＝AD＝5x．∵BD＝BC－CD，∴5x－3x＝4，∴x＝2，∴CD＝3x＝6． (2)∵AC＝4x＝8，BC＝5x＝10，∴AB＝ ，∴sin B＝ ．
22．解：在△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝120°，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于D，设AD＝x，∵∠ACD＝60°，∠ABD＝30°，∴BD＝ ＝ x，CD＝ ＝ x.∵BD－CD＝8，∴ x－ x＝8，∴x＝4 ，即AD＝4 ＝ ＜7，∴若渔船不改变航向，继续向正东方向航行；有触礁的危险．
23．解：在Rt△ABD中，BD＝80，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝ ，∴AB＝BD?tan∠ADB＝80 ≈138．56(米)．在Rt△AEC中，∵∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝80，∴CD＝BE＝AB－AE＝80 －80＝80（ －1)≈58.56(米)．答：塔高AB约为138．56米，楼高CD约为58．56米．
24．解：延长BC交AD于E点，则CE⊥AD．在Rt△AEC中，AC＝10，由坡比为1： 可知∠CAE＝30°．∴CE＝AC?sin 30°＝10× ＝5，AE＝AC?cos 30°＝10× ＝5 ，在Rt△ABE中，BE＝ ＝11．∵BE＝BC＋CE，∴BC＝BE－CE＝11－5＝6(米)．
25．(1) ∠A＋∠B＋∠C＝180° a，∠A，∠C (2)解：依题意可知∠ABC＝180°－45°－70°＝65°，∴∠A＝180°－(30°＋45°＋65°)＝40°，BC＝28．4× ＝14．2．∵ ，∴AB＝ ≈ ≈21．3（海里）.即此时货轮与灯塔A的距离AB约为21.3海里．
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