一、参考例题
［例1］判断下列事件是否是互斥事件.
(1)将一枚硬币连抛2次，设事件A：“两次出现正面”，事件B：“只有一次正面”；
(2)对敌机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A：“两次都击中敌机”,
事件B：“至少有一次击中敌机”.
分析：(1)中两事件不可能同时发生;
(2)因为事件B中的结果中含有“两次都击中敌机”，所以事件A、B有可能同时发生.
解：(1)事件A与B是互斥事件.
(2)事件A与B不是互斥事件.
评述：关键在于判断事件的结果是否有包容关系.
［例2］在一个袋内装有均匀红球5只，黑球4只，白球2只，绿球1只，今从袋中任意摸取一球，计算：
(1)摸出红球或黑球的概率.
(2)摸出红球或黑球或白球的概率.
分析：(1)设事件A：“摸出一球是红球”，事件B：“摸出一球是黑球”.
因为事件A与B不可能同时发生，所以它们是互斥的.
(2)设事件C：“摸出一球是白球”，则A、B、C彼此互斥.
解：设事件A：“摸出一球是红球”，设事件B：“摸出一球是黑球”，设事件C：“摸出一球是白球”.
∵A与B、B与C、C与A两两互斥,
且P(A)= ，P(B)= ，P(C)= ,
∴(1)由互斥事件的概率加法公式，可知“摸出红球或黑球”的概率为
P(A+B)=P(A)+P(B)= .
(2)由互斥事件的概率加法公式，可知“摸出红球或黑球或白球”的概率为
P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C) = .
［例3］某医院一天内派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下.
医生人数012345人以上
概率0.10.160.30.40.20.04
求：(1)派出医生至多2人的概率；
(2)派出医生至少2人的概率.
分析：设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名以上医生”为事件F，则有P(A)=0.1，P(B)=0.16，P(C)=0.3，P(D)=0.4，P(E)=0.2，P(F)=0.04.由于事件A、B、C、D、E、F彼此互斥，因此，(1)、(2)中的概率可求.
解：设事件A：“不派出医生”，事件B：“派出1名医生”，事件C：“派出2名医生”，事件D：“派出3名医生”，事件E：“派出4名医生”，事件F：“派出5名以上医生”.
∵事件A、B、C、D、E、F彼此互斥，且 (A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0.4,
P(E)=0.2,P(F)=0.04,
∴“派出医生至多2人”的概率为
P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C) =0.1+0.16+0.3=0.56,
“派出医生至少2人”的概率为
P(C+D+E+F) =P(C)+P(D)+P(E)+P(F) =0.3+0.4+0.2+0.04=0.94.
［例4］一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽取2件，求其中出现次品的概率.
分析：由于从这批产品中任意取2件，出现次品可看成是两个互斥事件A：“出现一个次品”和事件B：“出现两个次品”中，有一个发生，故根据互斥事件的概率加法公式可求“出现次品”的概率.
解：设事件A：“出现一个次品”,
事件B：“出现两个次品”,
∴事件A与B互斥.
∵“出现次品”是事件A和B中有一个发生,
∴P(A)= = ,
P(B)= .
∴所求的“出现次品”的概率为
P(A+B)=P(A)+P(B) = .
评述：注意对互斥事件概率加法公式的灵活运用.
二、参考练习
1.选择题
(1)有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名,则恰好是2名男生或2名女生的概率为
A. B.
C. D.
答案：D
(2)一个口袋内装有大小相同的7个白球，3个黑球，5个红球，从中任取1球是白球或黑球的概率为
A. B.
C. D.
答案：B
(3)某工厂的产品分一、二、三等品三种，在一般的情况下，出现一等品的概率为95%,出现二等品的概率为3%，其余均为三等品，那么这批产品中出现非三等品的概率为
A.0.50B.0.98
C.0.97D.0.2
答案：B
(4)从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取两个数，分别有下列事件，其中为互斥事件的是
①恰有一个奇数和恰有一个偶数 ②至少有一个是奇数和两个数都是奇数 ③至少有一个是奇数和两个数都是偶数 ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数
A.①B.②④
C.③D.①③
答案：C
2.填空题
(1)若事件A与B________，则称事件A与B是互斥的；若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1+A2+…+An)=________.
答案：不可能同时发生P(A1)+P(A2)+…+P(An)
(2)甲、乙两人下棋，两个下成和棋的概率是 ，乙获胜的概率是 ，则乙输的概率是________.
答案：
(3)口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23,则摸出黑球的概率是________.
答案：0.32
(4)3人都以相同概率分配到4个单位中的每一个，则至少有2人被分配到一个单位的概率为________.
答案：
3.解答题
(1)某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：
年降水量(单位：mm)［１００，１５０］［１５０，２００］［２００，２５０］［２５０，３００］
概率0.100.250.200.12
求：①降水量在［２００，３００］范围内的概率；
②降水量在［１００，２５０］范围内的概率.
解：①P=0.20+0.12=0.32，
∴降水量在［２００，３００］范围内的概率为0.32.
②P=0.10+0.25+0.20=0.55,
∴降水量在［１００，２５０］范围内的概率为0.55.
(2)从装有大小相同的4个红球，3个白球，3个黄球的袋中，任意取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率.
分析：“2个球颜色相同”这一事件包括“2个球是红球”“2个球是白球”“2个球是黄球”3种结果.
解：记“取出2个球为红球”为事件A,
“取出2个球为白球”为事件B,
“取出2个球为黄球”为事件C,
则A、B、C彼此互斥,
且P(A)= ,
P(B)= ,
P(C)= .
“2个球颜色相同”则可记为A+B+C,
∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)= .
(3)有币按面值分类如下：壹分5枚，贰分3枚，伍分2枚，从中随机抽取3枚，试计算：
①至少有2枚币值相同的概率；
②3枚币值的和为7分的概率.
分析：①至少有2枚币值相同包括恰好有2枚币值相同和3枚币值全相同2种情况;
②3枚币值的和为7分包括“1枚伍分，2枚壹分”1种情况.
解：①由题意可设“任取3枚币值各不相同”为事件A，则“至少有2枚币值相同”为事件 .
又∵P(A)= ,
∴P( )=1- .
②设“3枚币值和为7分”为事件B,则P(B)= .
评述：要注意认真分析题意，灵活应用对立事件的概率公式.
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一、参考例题
［例1］抛掷一个均匀的正方体玩具，记事件A“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”，问下列事件是不是互斥事件，是不是对立事件？
(1)A与B;(2)A与C;(3)B与C.
分析：利用互斥事件与对立事件的概念.
解：(1)∵事件A与事件B不可能同时发生，而且在试验中必有一个发生,
∴事件A与B是互斥事件，也是对立事件.
(2)∵事件A与C都可能含有同一结果“落地时向上的数为3”，故A与C可能同时发生.
∴A与C不是互斥事件，因而也不是对立事件.
(3)∵事件B与C都可能含有同一结果“落地时向上的数为6”，故B与C可能同时发生.
∴B与C不是互斥事件.故也不是对立事件.
［例2］某射手在一次射击中射中10环、9环、8环的概率分别为0.24、0.28、0.19，计算这一射手在一次射击中，不够8环的概率.
分析：由于事件“射击击中不够8环”与事件“射击击中8环或8环以上”是相互对立事件，而后者的概率运用互斥事件中有一个发生的概率公式可求，因此利用对立事件的概率公式可求解.
解：设事件A：“一次射击击中的不够8环”，事件B：“一次射击击中8环或8环以上”，
∴事件A与B是互斥事件.
∵事件A与B中必有一个发生,
∴事件A与B又是对立事件.
∴P(A)=1-P(B).
∴P(B)=0.24+0.28+0.19=0.71.
∴P(A)=1-0.71=0.29.
∴该射手在一次射击中不够8环的概率为0.29.
评述：注意利用互斥事件中有一个发生的概率公式及对立事件的概率公式.
［例3］有三个人，每人都以相同概率被分配到四个房间中的每一间，试求：
(1)三人都分配到同一个房间的概率；
(2)至少有两人分配到同一房间的概率.
分析：(1)因为每人都以相同概率被分配到四个房间中的每一间，所以三人被分配到四个房间中的一间共有4×4×4=43种等可能性的结果出现，而事件“三人都分配到同一个房间”中含有4个结果，故根据等可能性的概率公式可求.
(2)设事件A“至少有两人分配到同一房间”,
事件B“三人都分配到不同的房间”,
故事件A与B是对立事件.而P(B)= ,
因此，利用对立事件的概率关系可求P(A).
解：(1)根据等可能事件的概率公式,得三人都分配到同一个房间的概率为
P= .
∴三人都分配到同一房间的概率为 .
(2)设事件A“至少有两人分配到同一房间”，事件B“三人都分配到不同的房间”.
∵事件A与B是对立事件，且P(B)= ,
∴P(A)=1- .
∴至少有两人分配到同一房间的概率为 .
［例4］某电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任意取3个，试求至少有一个二级品的概率.
分析：设事件A：“至少有一个二级品”，则事件A是指事件“有一个二级品”“有两个二级品”“有三个二级品”中有一个发生，因而，可用互斥事件的概率加法公式计算.另外，事件A与事件“没有一个二级品”是对立事件，故利用对立事件的概率公式也可求解，且比较简便.
解法一：设事件A：“至少有一个二级品”，它是指事件“有一个二级品”“有两个二级品”“有三个二级品”中有一个发生，由于上述三个事件是互斥的，
∴P(A)= ≈0.276.
解法二：事件A与“没有一个二级品”是对立事件，而事件“没有一个二级品”的概率为 ,
∴P(A)=1- ≈0.276.
∴至少有一个二级品的概率约为0.276.
［例5］某小组有男生6人，女生4人，现从中选出2人去校院开会，其中至少有1名女生的概率为多少？
分析：设事件“至少有1名女生”为A，则事件A可看成是事件“有一名女生”“有两名女生”中有一个发生.而事件“有一名女生”和“有两名女生”是互斥的，所以P(A)可利用互斥事件概率加法公式求得.另外事件A与事件“没有女生”是对立事件，而事件“没有女生”的概率P= .
解法一：P(A)= .
解法二：P(A)=1-P( )=1- = ,
∴至少有1名女生的概率是 .
二、参考练习
1.选择题
(1)下列命题中，真命题的个数是
①将一枚硬币抛两次，设事件A：“两次出现正面”，事件B：“只有一次出现反面”，则事件A与B是对立事件 ②若事件A与B为对立事件，则事件A与B为互斥事件 ③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件 ④若事件A与B为对立事件，则事件A+B为必然事件
A.1B.2
C.3D.4
答案：B
(2)袋中装白球和黑球各3个，从中任取2球，则至多有1黑球的概率是
A. B.
C. D.
答案：B
2.填空题
(1)在10件产品中有8件一级品，2件二级品，现从中任选3件，设事件A：“所取的都是一级品”，则事件 表示为________.
答案：所取的不都是一级品
(2)口袋内有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.3,摸出黑球的概率是0.5，那么摸出白球的概率是________.
答案：0.2
3.解答题
(1)某班有学生50名，其中班干部5名，现从中选出2名作为学生代表，求：
①选出的2名学生至少有1名是班干部的概率;
②选出的2名学生中没有班干部的概率.
解：①P=1- .
②P= .
(2)有红、黄、蓝三种颜色的信号旗各1面，按不同次序排列可组成不同的信号，并且可以用1面旗、2面旗或3面旗组成信号，求：
①组成的信号是由1面或2面信号旗组成的概率;
②组成的信号不是由1面信号旗组成的概率.
解：①P= = ;
②P=1- .
(3)某班共有学生n(n≤50)个人，若一年以365天计算，列式表示至少有2人在同一天过生日的概率.
解：记“至少有2人在同一天生日”为事件A，则“没有人在同一天生日”为事件A的对立事件，即 . ∵P( )= ,
∴P(A)=1- .
(4)某单位的36人的血型分别是：A型的有12人，B型的有10人，AB型的有8人，O型的有6人，如果从这个单位随机地找出两个人，那么这两个人具有不同的血型的概率是多少？
解：记“两个人具有不同血型”为事件A，则“两个人血型相同”为事件A的对立事件，即 ，且“两个人为A型血”“两个人为B型血”“两个人为AB型血”“两个人为O型血”为彼此互斥事件，这些互斥事件只要有一个发生，则 发生，而
P( )= ,
∴P(A)=1-P( )=1- .
(5)一个袋内装有3个红球，n个白球，从中任取2个，已知取出的球至少有一个是白球的概率是 ，求n的值.
解：记“至少有一个是白球”为事件A，则“任取2球，全是红球”是事件A的对立事件，即 .
又∵P( )= ,
由对立事件的概率公式P(A)+P( )=1，得P(A)=1- = ,
即n2+5n-204=0.
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