§7.2 万有引力理论的成就
【学习目标】
1．了解万有引力定律在天学上的应用
2．会用万有引力定律计算天体的质量和密度
3．掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法
能力目标
通过求解太阳.地球的质量，培养学生理论联系实际的运用能力
德育目标
通过介绍用万有引力定律发现未知天体的过程，使学生懂得理论于实践，反过又可以指导实践的辨证唯物主义观点
【自主学习】
一.天体质量的估算
对一个物体的物理特性进行测量的方法主要有两种：直接测量和间接测量。而直接测量往往很困难，无法测出结果，所以间接测量就成为一种非常有用的方法，但间接测量需要科学的方法和科学理论作为依据。
求天体质量的方法主要有两种:一种方法是根据重力加速度求天体质量,即引力=重力mg=Gm/R2; 另一种方法是根据天体的圆周运动,即其向心力由万有引力提供,
1．某行星的一颗小卫星在半径为r的圆轨道上绕行星运行，运行的周期是T。已知引力常量为G，这个行星的质量=＿＿
2. 已知地球表面的重力加速度为g,引力常量为G,地球半径为R,则地球质量=＿＿
二.发现未知天体
关于万有引力定律应用于天学研究上的事实,下列说法中正确的是( )
A.天王星.海王星和冥王星都是运用万有引力定律,经过大量计算以后发现的
B.在18世纪已发现的7个行星中，人们发现第七个行星天王星的运动轨道总是根据万有引力定律计算出的理论轨道有较大的偏差,于是有人推测在天王星轨道外还有一个行星,是它的存在引起上述偏差.
C.海王星是运用万有引力定律,经过大量计算以后发现的
D. 冥王星是英国的亚当斯和法国的勒维列运用万有引力定律,经过大量计算以后发现的
【典型例题】
解决天体运动问题的基本思路
很多天体运动都可以近似地看成圆周运动，其向心力由万有引力提供
[例1] 已知太阳光从太阳射到地球需时间500s,地球公转轨道可近似看成圆轨道,地球半径为6400km,试计算太阳质量与地球质量m之比?
跟踪练习 所有行星绕太阳运转其轨道半径的立方和运转周期的平方的比值即r3/T2=k,那么k的大小决定于( )
A.只与行星质量有关 B.只与恒星质量有关
C.与行星及恒星的质量都有关 D.与恒星质量及行星的速率有关
地球表面物体的重力近似等于物体受到地球的引力
[例2] 某物体在地面上受到的重力为160N,将它放置在卫星中,在卫星以a=1/2 g随火箭向上加速度上升的过程中,当物体与卫星中的支持物的相互挤压力为90N时,求此时卫星距地球表面有多远? （地球半径R=6.4×103km,g=10m/s2）
估算天体的密度
［例3］一艘宇宙飞船飞近某一个不知名的行星,并进入靠近该行星表面的圆形轨道,宇航员进行预定的考察工作,宇航员能不能仅用一只表通过测定时间测定该行星的密度? 说明理由及推导过程.
双星问题
［例4］两个星球组成双星,它们在相互之间的万有引力作用下,绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动,现测得两星中心距离为R,其运动周期为T,求两星的总质量?
答案 自主学习 1 =4π2r3/GT2 2 =gR2/G BC
例1 3×105 B 例2 1.92×km 例3 ρ=3π/GT2 例4 4π2r3/GT2
【能力训练】
一、选择题
1．设在地球上和在x天体上，以相同的初速度竖直上抛一物体，物体上升的最大高度比为(均不计阻力)，且已知地球和x天体的半径比也为，则地球质量与x天体的质量比为( )
A．1B．C．2D．1/
2．(1988年•全国高考)设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则g/g0为( )
Ａ．1Ｂ．1/9Ｃ．1/4Ｄ．1/16
3．对于万有引力定律的数学表达式F＝ ，下列说法正确的是( )
Ａ．公式中G为引力常数，是人为规定的
Ｂ．r趋近于零时，万有引力趋于无穷大
Ｃ．m1、m2之间的万有引力总是大小相等，与m1、m2的质量是否相等无关
Ｄ．m1、m2之间的万有引力总是大小相等方向相反，是一对平衡力
4．地球的半径为R，地球表面处物体所受的重力为mg，近似等于物体所受的万有引力．关于物体在下列位置所受万有引力大小的说法中，正确的是( )
Ａ．离地面高度R处为4mg Ｂ．离地面高度R处为mg/2
Ｃ．离地面高度－3R处为mg/3 Ｄ．离地心R/2处为4mg
5．物体在月球表面的重力加速度是在地球表面的重力加速度的1/6，这说明了( )
A．地球的半径是月球半径的6倍 B．地球的质量是月球质量的6倍
C．月球吸引地球的力是地球吸引月球的力的1/6
D．物体在月球表面的重力是其在地球表面的重力的1/6
6．关于天体的运动，下列叙述正确的是( )
A．地球是静止的，是宇宙的中心 B．太阳是宇宙的中心
C．地球绕太阳做匀速圆周运动 D．九大行星都绕太阳运动，其轨道是椭圆
7．太阳表面半径为R’，平均密度为ρ′，地球表面半径和平均密度分别为R和ρ，地球表面附近的重力加速度为g0 ，则太阳表面附近的重力加速度g′( )
A． B． g0 C． g0D． g0
8．假设火星和地球都是球体，火星质量火和地球质量地之比为火/地＝p，火星半径R火和地球半径R地之比为R火/R地＝q，那么火星表面处的重力加速度g火和地球表面处的重力加速度g地之比g火/g地等于( )
A．p/q2B．pq2 C．p/qD．pq
二、非选择题
9．已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，万有引力恒量为G，用以上各量表示地球质量＝________．
10．已知地球半径约为6.4×106 m，又知月球绕地球的运动可近似看做圆周运动，则可估算出月球到地心的距离为________m．(结果保留一位有效数字)
11．火星的半径是地球半径的一半，火星质量约为地球质量的1/9，那么地球表面质量为50 kg的物体受到地球的吸引力约是火星表面同质量的物体受到火星吸引力的______倍．
12．假如地球自转速度达到使赤道上的物体“飘”起(即完全失重)，那么地球上一天等于多少小时？(地球半径取6.4×106 m)
13．飞船以a＝g/2的加速度匀加速上升，由于超重现象，用弹簧秤测得质量为10 kg的物体重量为75 N．由此可知，飞船所处位置距地面高度为多大？(地球半径为6400 km， g＝10 m/s2)
14．两颗靠得很近的恒星，必须各以一定的速率绕它们连线上某一点转动，才不至于由于万有引力的作用而将它们吸引到一起．已知这两颗恒星的质量为m1、m2，相距L，求这两颗恒星的转动周期．
【学后反思】
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参考答案
一、选择题
1．解析：mg＝G ，g＝G H＝ ，g＝
两式联立求解得：∶′＝∶1
答案：B
2．解析：本题考查万有引力定律的简单应用．地球表面处的重力加速度和在离地心高4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有
F＝G ＝mg，
答案：D
3．C
4解析：F＝mg＝G ，F′＝mg′＝G ，F′＝ F＝ mg．故C选项正确．
答案：C
5．D
6．D
7．解析：mg0＝G ，g0＝G ＝G R3/R2，g0＝ GR．同理可得g′＝ G′R′．故g′＝ g0，则C选项正确．
答案：C
8．解析：由G ＝mg，得g＝
所以， ＝ •( )2＝P/q2
答案：A
二、非选择题
9．解析：地球表面上物体重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝G
所以 ＝
答案：
10．解析：地球对月球的万有引力提供月球绕地球运转所需的向心力，月球绕地球运转的周期为27天，即
G ＝m •r①
T＝27×24×3600 s
G ＝m′g ②
由①、②两式可得
r＝ ＝ ＝4×108 m
答案：4×108
11．解析：物体受地球的吸引力为
F＝G ①
物体受火星的吸引力为
F′＝G ②
两式相除得
答案：
12．解析：由万有引力提供向心力，则
G ＝mg＝m2R＝m •R
所以T＝2 ＝2
＝2 s
＝16×102 s＝ h＝1.396 h＝1.4 h
答案：1.4 h
13．解析：该题应用第二定律和万有引力的知识求解，设物体所在位置高度为h，重力加速度为g′，物体在地球表面重力加速度为g，则
F-mg′＝ma①
g′＝G ②
g＝G ③
由①式得：
g′＝ -a＝ - ＝
由②、③得：
所以h＝R＝6400 km．
答案：6400 km
14．解析：由万有引力定律和向心力公式求即可．m1、m2做匀速圆周运动的半径分别为R1、R2，它们的向心力是由它们之间的万有引力提供，所以
G ＝m1 R1①
G ＝m2 R2②
R1+R2＝L③
由①②③得：
，得：R1＝ L
代入①式
T2＝
所以：T＝2 答案：2
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