教案19 函数性质综合运用
一、前检测
1. 函数 的定义域是_____________________.答案： 或

2. 已知 ,
则 的最大值为 . 答案：6

3. 函数 的单调递增区间是___________________.答案：

4． 表示 、 、 三个数中的最大值，则 在区间 上的最大值 和最小值 分别是（ C ）
A． ， B． ， C． ， D． ，

二、典型例题分析
例1 （东城期末15）已知函数 , 且 .
（Ⅰ）求 的定义域；
（Ⅱ）判断 的奇偶性并予以证明；
（Ⅲ）当 时，求使 的 的取值范围.
解: （Ⅰ） ,则
解得 .
故所求定义域为 .………………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 的定义域为 ,
且 ,
故 为奇函数. ………………………………………………………………9分
（Ⅲ）因为当 时， 在定义域 内是增函数，
所以 .
解得 .
所以使 的 的取值范围是 .………………………………13分
小结与拓展：解决对数函数问题，首先要注意函数的定义域，在定义域内研究函数的相关性质。

例2 已知函数f(x)=x2+x-a+1,a∈R.?
（1）试判断f(x)的奇偶性；?
（2）若- ≤a≤ ，求f(x)的最小值.
解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+-x+1=f(x),?
此时,f(x)为偶函数.当a≠0时，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2a+1,?
f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数.?
（2）当x≤a时,f(x)=x2-x+a+1=(x- )2+a+ ,?
∵a≤ ,故函数f(x)在（-∞，a］上单调递减，?
从而函数f(x)在（-∞，a］上的最小值为f(a)=a2+1.?
当x≥a时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+ )2-a+ ,?
∵a≥- ，故函数f(x)在［a，+∞）上单调递增，从而函数f(x)在［a，+∞)上的
最小值为f(a)=a2+1.?
综上得，当- ≤a≤ 时，函数f(x)的最小值为a2+1.

小结与拓展：注意对参数的讨论

例3 (2006重庆)已知定义域为 的函数 是奇函数。
（1）求 的值；
（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围；
解：（1） 因为 是R上的奇函数，所以
从而有 又由 ，解得
（2）解法一：由（1）知
由上式易知 在R上为减函数，又因 是奇函数，从而不等式
等价于
因 是R上的减函数，由上式推得
即对一切 从而
解法二：由（1）知
又由题设条得
即
整理得 ，因底数2>1，故
上式对一切 均成立，从而判别式

变示训练：已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， 为增函数，则不等式
的解集为 .答案：

小结与拓展：本题是一个综合题，需灵活运用函数的性质解决。

四、归纳与（以学生为主，师生共同完成）
1.知识：
2.思想与方法：
3.易错点：
4.教学反思（不足并查漏）：

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