平面向量的数量积
一．复习目标：掌握平面向量的数量积及其性质和运算率，掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条和向量数量积的简单运用．
二．主要知识：
1．平面向量数量积的概念；
2．平面向量数量积的性质： 、 ；
3．向量垂直的充要条： ．
三．前练习：
1.下列命题中是正确的有
①设向量 与 不共线，若 ，则 ； ② ；
③ ，则 ； ④若 ，则
2．已知 为非零的平面向量. 甲： （ ）
甲是乙的充分条但不是必要条 甲是乙的必要条但不是充分条
甲是乙的充要条 甲既不是乙的充分条也不是乙的必要条
3．已知向量 ，如果向量 与 垂直，则 的值为 （ ）
2
4．平面向量 中，已知 ，且 ，则向量 ___ __ ____.
5．已知 = =2， 与 的夹角为600，则 + 在 上的投影为 。
6．设向量 满足 ，则 。
7．已知向量 的方向相同，且 ，则 ___ ____。
8．已知向量 和 的夹角是120°，且 ， ，则 = 。
四．例题分析：
例1．已知平面上三个向量 、 、 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，
（1）求证： ⊥ ； （2）若 ，求 的取值范围.

小结：

例2．已知： 、 、 是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）
（1）若 ，且 ，求 的坐标；
（2）若 = 且 与 垂直，求 与 的夹角 .

小结：
例3．设两个向量 、 ，满足 ， ， 、 的夹角为60°，若向量 与向量 的夹角为钝角，求实数 的取值范围.

小结：
例4．如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问
的夹角 取何值时 的值最大？并求出这个最大值。

小结：

五．后作业： 班级 学号 姓名
1．已知向量 ,向量 则 的最大值，最小值分（ ）
16，0 4，0
2．平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知两点 ， ，若点 满足
，其中 ，且 ，则点 的轨迹方程为： （ ）

3．已知向量 ， ，那么 的值是（ ）
1
4．在 中， ， 的面积是 ，若 ， ，则 ( )

5．已知 为原点，点 的坐标分别为 ， ，其中常数 ，点 在线段 上，且有 ，则 的最大值为 （ ）

6．设 是双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上，且 ，则 的值等于 （ ）
2 4 8
7.设 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 （ ）
① ； ②
③ 不与 垂直 ④
中，是真命题的有 ( )
（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）②④
8．设 为平面上四个点， ， ， ，且 ， = ，则 ＝___________________。
9．若对 个向量 存在 个不全为零的实数 ，使得 成立，则称向量 为“线性相关”．依此规定， 能说明 ， ， “线性相关”的实数 依次可以取 ；（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）．

10．向量 都是非零向量，且 ，求向量 与 的夹角.

11．已知向量 ， ，
（1）当 ，求 ；
（2）若 ≥ 对一切实数 都成立，求实数 的取值范围。

12．设 , , , ， 与 轴正半轴的夹角为 , 与 轴正半轴的夹角为 ，且 ,求 ．

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