第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质
【最新考纲透析】
1．函数
（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。
（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。
（3）了解简单的分段函数，并能简单应用。
（4）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。
（5）会运用函数图象理解和研究函数的性质。
2．指数函数
（1）了解指数函数模型的实际背景。
（2）理解有理指数幂的含义，了解褛指数幂的意义，掌握幂的运算。
（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点。
（4）知道指数函数是一类重要的函数模型。
3．对数函数
（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。
（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。
（3）知道对数函数是一类重要的函数模型。
（4）了解指数函数 与对数函数 互为反函数（ ）。
4．幂函数
（1）了解幂函数的概念
（2）结合函数 的图象了解它们的变化情况。
【核心要点突破】
要点考向一：基本初等函 数问题
考情聚焦：1．一元二次函数、指数函数、对数函数和幂函数是最重要的基本初等函数，在每年高考中都有涉及到直接考查它们定义、定义域和值域、图象和性质的问题。
2．常与函数的性质、方程、不等式综合命题，多以选择、填空题的形式出现，属容易题。
考向链接：1．一元二次、二次函数及指数\对数函数和幂函数的定义、定义域、值域、图象和性质是解决此类题目的关键，同时要注意数形结合、化归和分类讨论思想的应用 。
2.熟记幂和对数的运算性质并能灵活运用。
例1：（2010?全国高考卷Ⅱ文科?Ｔ4）函数y=1+ln（x-1）(x>1)的反函数是
（A） y= -1(x>0) (B) ）y= +1(x>0)
(C) y= -1(x R) (D）y= +1 (x R)
【命题立意】本题考查了反函数的概念及其求法。
【思路点拨】运用求反函数的方法解。
【规范解答】 选D，y=1+ln（x-1），ln（x-1）=y-1,x-1=e ,所以反函数为y= +1 (x R)
【方法技巧】求反函数的步骤：（1）反 解x,即用y表示x.
(2)把x、y互换，
（3）写出反函数的定义域，即原函数的值域。本题注意指数式与对数式的互化。
例2：（2010?天津高考文科?Ｔ6）设 （ ）
(A)a
【思路点拨】根据对数的性质及对数函数 的图像，可得 ，
。
【规范解答】选D，由对数函数 的图像，可得 ，
，又 。
【方法技巧】比较对数函数值的大小问题，要特别注意分清底数是否相同，如果底数相同，直接利用函数的单调性即可比较大小；如果底数不同，不仅要利用函数的单调性，还要借助中间量比较大小。
要点考向二：函数与映射概念的应用问题
考情聚焦：1.该考向在高考中主要考查与函数、映射概念相关的定义域、映射个数、函数值、解析式的确定与应用。
2.常结合方程、不等式及函数的有关性质交汇命题，属低、中档题。
考向链接：1.求函数定义域的类型和相应方法。
2.求f(g(x))类型的函数值时，应遵循先内后外的原则，面对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解，特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性。
3.求函数的解析式，常见命题规律是：先给出一定的条件确定函数的解析式，再研究函数的有关性质；解答的常用方法有待定系数法、定义法、换元法、解方程组法、消元法等。
4.映射个数的计算一般要分类计数。
例3：（2010?天津高考理科?Ｔ8）若函数f(x)= ,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是 ( )
（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞）
（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）
【命题立意】考查对数函数的图像和性质。
【思路点拨】对a进行讨论，通过图像分析f(a)>f(-a)对应的实数a的范围。
【规范解答】选C，当a>0，即-a<0时，由f(a)>f(-a)知 ，在同一个坐标系中画出 和 函数的图像，由图像可得a>1；当a<0,即-a>0时，同理可得-1
考情聚焦：1.函数图象作为高中数学的一个“重头戏”，是研究函数性质、方程、不等式的重要武器，已成为各省市高考命题的一个热点。
2.常以几类初等函数的图象为基础，结合函数的性质综合考查，多以选择、填空题的形式出现。
考向链接：1.基本初等函数的图象和性质，函数图象的画法以及图象的三种变换。
2.在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系、结合图象研究。
3.在研究一些陌生的方程和不等式时常用数形结合法求解。
例4：（2010?山东高考理科?Ｔ11）函数 的图象大致是（ ）
【命题立意】本题考查函数的图象，函数的基础知识以及数形结合的思维能力,
考查了考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力。
【思路点拨】利用特殊值对图象进行估计分析.
【规范解答】选A，因为当x＝2或4时， ，所以排除B、C；当x＝-2时，2x - ＝ ，故排除D，所以选A.
要点考向四：函数性质问题
考情聚焦：该考向是各省市高考命题大做文章的一个重点。常与多个知识点交汇命题，且常考常新，既有小题，也有大题，主要从以下三个方面考查：
1.单调性（区间）问题，热点有：（1）确定函数单调性（区间）；（2）应用函数单 调性求函数值域（最值）、比较大小、求参数的取值范围、解（或证明）不等式。
2.奇偶性、周期性、对称性的确定与应用。
3.最值（值域）问题，考题常与函数的其他性质、图象、导数、基本不等式等综合。
例5：（2010辽宁文数）（21）（本小题满分12分）
已知函数 .
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）设 ，证明：对任意 ， .
解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+ )， .
当a≥0时， ＞0，故f(x)在(0,+ )单调增加；
当a≤－1时， ＜0, 故f(x)在(0,+ )单调减少；
当－1＜a＜0时，令 ＝0,解得x= .当x∈(0, )时, ＞0；
x∈( ，+ )时， ＜0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（ ，+ ）单调减少.
(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+ ）单调减少.
所以 等价于
≥4x1－4x2,
即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.
令g(x)=f(x)+4x,则
+4
＝ .
于是 ≤ ＝ ≤0.
从而g(x)在（0，+ ）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，
即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+ ) ， .
【高考真题探究】
1. （2010?上海高考理科?Ｔ8）对任意不等于1的正数a，函数f(x)= 的反函数的图像都经过点P，则点P的坐标是
【命题立意】本题考查对数函数的性质及反函数的有关性质．
【思路点拨】根据对数函数的性质找到原函数过的定点，再由反函数的性质找到关于直线y=x的对称点．
【规范解答】 ．因为函数 的图像过定点 ，由反函数的性质可知，反函数的图像过定点 ．
2. （2010?全国Ⅰ理科?Ｔ8）设 ， ， ,则（ ）
A a
【思路点拨】利用换底公式，将 ， 变成以2为底的对数.根据对数函数
和指数函数的图像进行分析.
【规范解答】选C.
a= 2= , b=In2= ,而 ,所以a
A．关于原点对称 B．关于直线y=x对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
【命题立意】本小题考查函数的对称性，考查奇函数、偶函数的概念，考查运算求解的能力，考查数形结合的思想方法.
【思路点拨】根据选项，可以判断函数 是否为奇函数、偶函数，即判断 与 的关系；如果不是，再判断选项B，C是否正确.
【规范解答】选D
【解法1】
，是偶函数，图象关于y轴对称；
【解法2】
，有 ，所以函数 的图象关于 轴对称.
【方法技巧】（1）指数运算 在变形整理中起其重要作用；
（2）分式加法的逆向运算是本题的变形技巧.
4. （2010?北京高考文科?Ｔ6）给定函数① ，② ，③ ，④ ，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是
（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④
【命题立意】考查几类基本初等函数的单调性及简单的图像变换。
【思路点拨】画出各函数的图象，再判断在（0，1）上的单调性。
【规范解答】选B。各函数在（0，1）上的单调性：①增函数；②减函数；③减函数；④增函数。
5. 10.（2010?浙江高考理科?Ｔ10）
设函数的集合 ，平面上点的集合 ，则在同一直角坐标系中， 中函数 的图象恰好经过 中两个点的函数的个数是（ ）
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10
【命题立意】本题考查对数型函数的图象，集合元素的表示，考查学生对数运算能力和数形结合的思想。
【思路点拨】把Q中的点表示在坐标 系中，逐个分析P中的每一个函数的图像，找出恰过两点的函数。
【规范解答】选B。
Q中有12个点，表示在坐标系中；P中共有12个函数，逐个分析P中的每一个函数的图像，可知恰过两个点的函数有 ， ，
， ， 共6个。
6. （2010?江苏高考?Ｔ11）已知函数 ,则满足不等式 的x的取值范围是__ ___。
【命题立意】本题考查分段函数的图像、单调性以及数形结合和化归转化的思想。
【思路点拨】结合函数 的图像以及 的条件，可以得出 与 之间的大小关系，进而求解x的取值范围.
【规范解答】画出 ,的图象，
由图像可知，若 ，
则 ，即 ，得
【答案】
【跟踪模拟训练】
一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，总分36分）
1．设函数f（x）=log2x的反函数为y=g（x） ，若 ，则a等于（ ）
A．-2 B． C． D．2
2.已知一容器中有A、B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用 来记录A菌个数的资料，其中 为A菌的个数，则下列判断中正确的个数为 （ ）
①
②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个
③假设科学家将B菌的个数控制为5万个，则此时
A．0B．1C．2D．3
3.函数 与 在同一坐标系的图象为（ ）
4.类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数， ， ，其中 ，且 ，下面正确的运算公式是（ ）
① ； ② ；
③ ； ④ ．
（A）①③ （B）②④ （C）①④ （D）①②③④
5.下列函数 中，满足“对任意 ， （0， ），当 < 时，都有 > 的是( )
A． = B. = C . = D
6. f(x)= ，则 ＝（ ）
（A）-23（B）11（C）19 （D）24
二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，总分18分）
7．已知函数 ，正实数m，n满足 ，且 ，若 在区间 上的最大值为2，则 ．
8．已知 ，函数 ，若实数 、 满足 ，则 、 的大小关系为 .
9．给出下列四个命题：
①函数 在区间 上存在零点
②若 =0，则函数 在 取得极值；
③ ≥-1，则函数 的值域为R；
④“ ”是“函数 在定义域上是奇函数”的充分不必要条件。
其中真命题是 （把你认为正确的命题序号都填在横线上）
三、解答题（10、11题每小题15分，12题16分，总分46分）
10．据调查，安徽某地区有100万从事传统农业的农民，人均年收入3000元.为了增加农民的收入，当地政府积极引资建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作. 据估计，如果有x(x＞0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民人均年收入为3000a元（a＞0为常数）.
（I）在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求x的取值范围；
（II）在（I）的条件下，当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这100万农民的人均年收入达到最大？
11．已知函数f(x)=lnx- (a∈R).
(1)当a∈［-e,-1］时，试讨论f(x)在［1,e］上的单调性；
(2)若f(x)
（1）已知函数f(x)= 的图象关于点(0,1)对称，
求实数m的值；
（2）已知函数g(x)在（-∞，0）∪(0,+∞)上的图象关于点( 0,1)对称，且当x∈(0,+∞)时，g(x)=x2+ax+1,求函数g(x)在
(-∞,0)上的解析式；
（3）在(1)(2)的条件下，当t>0时，若对任意实数x∈
(-∞,0)，恒有g(x)
参考答案
1. 【解析】选C 因为函数f（x）=log2x的反函数为 所以 由
得
2. 【解析】选B 当 时 ，故①错误；若 若 故②错误；
设B菌的个数为
所以 ，故③正确。
3. 【解析】选A 因为 ，所以函数 的图像在函数 图像 的下方，排除C、D；
，排除B，故选A。
4. 【解析】选D 因为 ，
同理可证其它3个式子也成立。
5. 【解析】选A依题意可得函数应在 上单调递减，故由选项可得A正确。
6. 【解析】选D
7. 【解析】由已知得
所以 在区间 上的最大值为 故
答案：
8. 【解析】 ，函数 在R上递减。由 得：m
所以函数 在区间 上存在零点；②不正确，例
；③正确：
对于④：若 ，则 又 的定义域为R，所以 “函数 在定义域上是奇函数”；若函数 在定义域上是奇函数，则 恒成立。因为 ，
所以 恒成立，
所以 ，故“函数 在定义域上是奇函数” 推不出“ ”，
所以④正确。综上正确的为①③④。
答案：①③④
10. 【解】（I）据题意，（100－x）?3000?（1+2x%）≥100×3000，
即x2－50x≤0，解得0≤x≤50.
又x＞0，故x的取值范围是(0，50].
（II）设这100万农民的人均年收入为y元，则
y＝
＝－35[x－25(a＋1)]2＋3000＋475(a＋1)2 (0
（2）若25(a＋1)＞50，即a ＞1，则当x＝50时，y取最大值.
答：当0＜a≤1时，安排25(a＋1)万人进入加工企业工作，当a＞1时，安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大.
11. 【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，
当-e≤a≤-1时，1≤-a≤e,令f′(x)=0得x=-a,于是当1≤x≤-a时，f′(x)≤0,∴f(x)在［1,-a］上为减函数,
当-a≤x≤e时，f′(x)≥0,
∴f(x)在［-a,e］上为增函数.
综上可知，当-e≤a≤-1时f(x)在［1,-a］上为减函数，在［-a,e］上为增函数.
(2)由f(x)
令g(x)=xlnx-x2,
要使a>xlnx-x2在［1,+∞)上恒成立，
只需a>g(x)max,
g′(x)=lnx-2x+1,
令φ(x)=lnx-2x+1,
则φ′(x)= -2,
∵x≥1,∴φ′(x)<0,∴φ(x)在［1,+∞)上单调递减，∴φ(x)≤φ(1)=-1<0,因此g′(x)<0,故g(x)在［1,+∞)上单调递减，则g(x)≤g(1)=-1,
∴a的取值范围是(-1,+∞).
12. 【解析】（1）由题设可得f(x)+f(-x)=2,即 + =2，解得 .
(2)当x<0时，-x>0且g(x)+g(-x)=2, ∴g(x)=2- g(-x)=-x2+ax+1.
(3)由（1）得f(t)=t+ +1(t>0),其最小值为f(1)=3.
g(x)= -x2+ax+1=-(x-a/2)2+1+ ,
①当
②当
【备课资源】
1.已知函数 ，若 ，则实数 = （ ）
（A）-1 （B） （C）-1或 （D）1或
2. f(x)= 则f(f(2))的值为( )
(A)0(B)1(C)2(D)3
3. 设a=π 0.3,b=logπ3,c=30,则a,b,c的大小关系是( )
(A)a>b>c(B)b>c>a
(C)b>a>c(D)a>c>b
4. 已知函数y=f(x)与y=ex互为反函数，函数y=g(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)=1,则实数a的值为( )
5.已知f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)的最小正周期为3，f(1)>0，f(2)= ，则m的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
6.如图是函数 的图象，则 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
7.函数y=f(x)的图象如图所示，则函数 的图象大致是（ ）
8. 若定义在R上的函数g(x)满足：对任意x1,x2有g(x1+x2)=g(x1)+g(x2)+1,则下列说法一定正确的是( )
(A)g(x)为奇函数
(B)g(x)为偶函数
(C)g(x)+1为奇函数
(D)g(x)+1为偶函数
9.设 为奇函数, 为常数.
(1)求 的值得;
(2)证明f(x)在区间(1,+ )内单调递增;
(3)若对于区间[3,4]上的每一个x的值,不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
参考答案
1. 【解析】选C。当 >0时， ，解得 ；当 ≤0时， ，解得 =-1
2. 【解析】选C.∵f(2)=log3(22-1)=1,
∴f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.
3. 【解析】选D.∵a=π0.3>π0=1,0
4. 【解析】选C.由已知得f(x)=lnx,又y=g(x)与y= f(x)的图象关于x轴对称，∴g(x)=-f(x)=-lnx,又g(a)=1,∴-lna=1,∴a= .
5. 【解析】选C由已知f(2)=f(3-1)=f(-1)=-f(1).又f(1)>0, ∴ <0 .解得 。
6. 【解析】选C.将分数指数化为根式， ，由定义域为R，值域为［0，+∞）知n为奇数，m为偶数，又由幂函数y=xα,当α>1时，图象在第一象限的部分下凸，当0<α<1时，图象在第一象限的部分上凸，故选C.或由图象知函数为偶函数，∴m为
偶数，n为奇数.又在第一象限内上凸,∴ <1.
7. 【解析】选C.由f(x)图象知f(x)≥1, ∴ ≤0,结合图象知先C.
8. 【解析】选C.由已知：令x1=x2=0得,g(0)=2g(0)+1,
∴g(0)=-1,
令x1=x,x2=-x,则有g(0)=g(-x)+g(x)+1,
∴有g(x)+1=-［g(-x)+1］,
故g(x)+1为奇函数.
9. 【解析】(1)由已知f(x)+f(-x)=0即
(2)由(1)得
(3)原不等式可化为
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