专题六 不等式（教师版）
【考纲解读】
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景;会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系,会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图;会从实际情境中抽象出二元一次不等式组,了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组,会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决;了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.学会运用数形结合、分类讨论等数学思想方法分析和解决有关不等式问题，形成良好的思维品质,培养判断推理和逻辑思维能力.
从近几年高考题目来看，不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低.
【考点预测】
本章知识的高考命题热点有以下两个方面：
1.均值不等式是历年高考的重点考查内容，考查方式多样，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查直接，难度较低；在解答题中出现，其应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，难度较高。
2.不等式证明也是高考的一个重点内容，且多以解答题的一个分支出现，常与函数、导数、数列、解析几何等知识结合，题目往往非常灵活，难度高。线性规划问题是近几年高考的一个新热点，在考题种主要以选择、填空形式出现，当然，也可以实际问题进行考查。考查了优化思想在解决问题的广泛应用，体现了数学的应用价值，从而形成解决简单实际问题的能力，进一步考查了考生的数学应用意识。
3.预计在2012年高考中，对不等式的性质和解不等式特别是含参数的不等式的解法，仍会继续渗透在其他知识中进行考查。对不等式的应用，突出渗透数学思想方法和不等式知识的综合应用，特别是求最值问题、不等式证明问题，将继续强调考查逻辑推理能力，尤其是不等式与函数、数列、三角、解析几何的综合题型将会继续出现在高考的中、高档题中。
【要点梳理】
1.不等式的性质与证明：
(1)不等式的基本性质;(2)均值不等式,应用时要特别注意定理成立的三个条件“一正二定三相等”,三者缺一不可;(3)一元二次不等式、二元一次不等式组、简单的一元高次不等式；(4)比较法证明:作差比较与作商比较法;(5)分析法与综合法证明。
2.不等式的解法:
(1)简单的一元高次不等式的解法:数轴标根法
(2)分式不等式解法;(3)不等式的实际应用题的解题步骤:审题、建立不等式模型、解数学问题、写出答案.
对于不等式的应用题有两类:一类是建立不等式,解不等式;一类是建立函数式,求最大值或最小值.
3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.
【考点在线】
考点一 不等式的性质
例1.（2011年高考浙江卷文科6)若 为实数,则“ ”是“ ”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件
【答案】 D
【解析】 则 不充分
则 不必要条件，故选D.
【名师点睛】本题考查不等式的性质与充分必要条件,可利用作差比较法,也可用特殊值代法.
【备考提示】：不等式的性质是高考考查的热点之一,几乎年年必考，不等式的性质经常与充分必要条件结合在一起综合考查，熟练不等式的各项性质是解答好本题的关键.
练习1:（2011年高考全国卷文科5)下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】 故选A.
【名师点睛】本小题先用“1”的代换,再展开后,应用均值不等式.
【备考提示】：熟练掌握均值不等式及其变形公式是解答好本类题的关键.
练习2: 2010年高考山东卷文科14）已知 ，且满足 ，则xy的最大值为 .
【答案】3
【解析】因为 ，所以 ，解得 ，故xy的最大值为3.
考点三 解不等式
高考要求掌握简单不等式的解法.解不等式是研究函数和方法的重要工具，是求函数的定义域、值域、最值、单调性、求反函数和参数的取值范围的重要手段，“不等式的变形”是研究数学的基本手段之一，它渗透到高中数学的每个角落中（如函数、方程、集合、数列、平面向量、三角函数、解析几何、立体几何、概率与统计、导数等），其基本思想是转化思想．转化的方法是: 超越式 分式 整式（高次） 整式（低次） 一次(或二次)不等式．其中准确熟练求解一元二次（一次）不等式是解其他不等式的基础，解一元高次不等式的有效方法是序轴法.此外,要重视数形结合、分类讨论思想的运用.
不等式的解法是高考必考内容，直接考查主要以选择题、填空题为主，这类题小巧灵活，常考常新；但有时也以解答题形式出现，主要考查含参数的不等式的解法.间接考查则更多，常以工具作用出现在函数、数列、三角函数、导数、解析几何、平面向量等问题之中,考查时重点考查一元二次不等式、分式不等式、含绝对值不等式，但偶尔也会涉及无理不等式、指数和对数不等式的解法．
例3. (2011年高考辽宁卷理科9)设函数f（x）= 则满足f（x）≤2的x的取值范围是（ ）
（A）[-1，2] （B）[0，2] （C）[1，+ ） （D）[0，+ ）
【答案】 D
【解析】不等式等价于 或 解不等式组，可得 或 ，即 ，故选D.
【名师点睛】本题考查不等式的解法,包含指数与对数不等式.
【备考提示】：不等式的解法是高考的热点问题之一,要熟练一元二次不等式（包括含有参数的）、简单的分式不等式、指数与对数不等式.
练习3：(2011年高考广东卷文科5)不等式 的解集是（ ）
A． B.
C． D．
【答案】D
【解析】由题得 所以选D.
考点四 线性规划
线性规划是高考热点之一,考查内容设计最优解,最值,区域面积与形状等,通常通过画可行域,移线,数形结合等方法解决问题.
例4. (2011年高考安徽卷文科6)设变量x,y满足 ,则 的最大值和最小值分别为( )
（A） 1， 1 (B) 2， 2 (C ) 1， 2 (D)2， 1
【答案】B
【解析】 三条直线的交点分别为（0,1），（0，－1），（1,0），分别代入 ，得最大值为2，最小值为－2.故选B.
【名师点睛】本题考查线性目标函数在线性约束条件下的最大值与最小值问题.属中等题.
【备考提示】：线性规划问题不牵涉目标函数的斜率问题时，可以不画图，直接将交点坐标求出代入计算即可.
练习4：（2011年高考山东卷文科7)设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为( )
(A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5
【答案】B
【解析】画出平面区域表示的可行域如图所示,当直线 平移至点A(3,1)时, 目标函数 取得最大值为10,故选B.
考点五 不等式的证明
高考要求掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.不等式证明是高中数学的重要内容，同时也是高中数学的难点，加之题型广泛，涉及面广，证法灵活，因而备受命题者的青睐，成为高考的热点问题.但由于在高考时，涉及到不等式证明的问题往往出现在压轴题上，其综合性强、思维量大，因而不等式证明问题也就成为高考的难点问题.现在的高考没有单独命制不等式证明的试题，而是把它与函数、数列、导数、解析几何、立体几何、概率与统计等问题相结合命制成综合的压轴题，重在考查逻辑思维能力，以及常用的不等式证明方法（基本方法:比较法、综合法、分析法;常用方法:放缩法、换元法、求导法、反证法、数学归纳法等）.
例5.已知a，b∈R，且a+b=1.求证：
证法一：比较法，作差消b,化为a的二次函数,
也可用分析法、综合法，反证法，实质与比较法相同.
证法二：（放缩法）∵ , ∴左边＝
＝右边
证法三：（均值换元法）∵ ，所以可设 ， ，
∴左边＝ ＝右边
当且仅当t=0时，等号成立.
证法四：（判别式法）
设y= (a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有 ，
所以 ，因为 ，所以 ，即
故 .
【名师点睛】：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元,注意体验不等式证明方法的灵活性和各种证明方法间的内在联系.
【备考提示】：证明不等式的方法有许多，关键是靠平常的善于.
5. 已知 ，求证： ≥ ．
【解析】∵ ，∴ ≥ ，
两边同加上 得， ≥ ．
又 ≥ ，两边同加上 得， ≥ ≥ ，
∴ ≥ ．
【考题回放】
1.(2011年高考山东卷理科4)不等式 的解集为( )
（A）[-5.7] （B）[-4,6]
（C） （D）
【答案】D
【解析】 则 因为 所以 即 于是 所以 成立，充分条件；
反之 成立，即 则 ,故 ，不必要条件。故选A.
3.（2009年高考山东卷文科第5题）在R上定义运算 : ,则满足 的实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知: ,解得 ,故选B.
4. (2011年高考天津卷文科5)已知 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 , 都小于1且大于0,故排除C,D;又因为 都是以4为底的对数,真数大,函数值也大,所以 ,故选B.
5．(2011年高考广东卷文科4)函数 的定义域是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题得 所以选C.
6．(2011年高考广东卷文科6)已知平面直角坐标系 上的区域 由不等式组 给定，若 为 上的动点，点 的坐标为 ，则 的最大值为（ ）
A．3B．4
C． D．
【答案】B
【解析】由题得不等式组对应的平面区域D是如图所示的直角梯形
OABC, ，
所以就是求 的最大值， 表示
数形结合观察得当点M在点B的地方时， 才最大。
,所以 ，所以选择B
7.（2011年高考福建卷文科10)若a>0, b>0, 且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在 处有极值，则 的最大值等于( )
A. 2 B. 3
C. 6 D. 9
【答案】D
【解析】 ,所以 在 处有极值,所以 ,即 ,又 ,所以 ,即 ,所以 ,当且仅当 时等号成立,所以 的最大值为9,选D.
当 时， ；
当 时， ，越往下的临界值越小，故选C.
9．（2011年高考湖南卷文科3) 的( )
A．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】因 ，反之
，不一定有 。
10．（2011年高考湖北卷文科8)直线与不等式组 表示平面区域的公共点有( )
A.0个B.1个
C.2个D.无数个
【答案】B
【解析】画出可行域（如图示），可得B(0,2) , A(2,4),
C(5,0) ,D(0, ), E(0,10),故由图知有唯一交点，故选B.
11.(2011年高考安徽卷文科13)函数 的定义域是 .
【答案】（－3,2）
【解析】由 可得 ，即 ，所以 .
12．（2011年高考江西卷文科15)对于 ，不等式 的解集为_______.
【答案】
【解析】两种方法，方法一：分三段，当x<-10时， -x-10+x-2 ,
当 时， x+10-x+2 ,
当x>2时， x+10-x+2 ,x>2,
方法二：用绝对值的几何意义，可以看成到两点-10和2的距离差大于等于8的所有点的集合，画出数轴线，找到0到-10的距离为 10，到2的距离为 2， ，并当x往右移动，距离差会大于8，所以满足条件的x的范围是 .
13. （2011年高考海南卷文科14)若变量 满足约束条件 ,则 的最小值为 .
【答案】-6
【解析】画出不等式组表示的平面区域,平移目标函数表示的直线,不难求出最小值为-6.
14．（2011年高考浙江卷文科16)若实数 满足 ，则 的最大值是 .
【答案】
【解析】 .
15. (2011年高考天津卷文科12)已知 ,则 的最小值为 .
【解析】设坐标原点的直线方程为 ,则由 解得交点坐标为 、 ，即为P、Q两点，所以线段PQ长为 ，当且仅当 时等号成立，故线段PQ长的最小值是4.
【高考冲策演练】
一、选择题：
1.（2010年高考天津卷文科7）设集合 则实数a的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【解析】因为 ， ，所以 或 ，解得
实数a的取值范围是 ，故选C.
2．（2010年高考福建卷文科5）设x,y ,且 ,则 的最小值等于( )
A.2 B.3 C.5 D.9
【答案】B
【解析】画出不等式表示的平面区域如图阴影所示，
当直线 过点（1，1）时， 取得最小
值3，故选B。
3．(2010年高考江西卷文科1)对于实数 ，“ ”是“ ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当 时， 不能得 ， .
4．(2010年高考江西卷文科2)若集合 ， ，则 ( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 .
5．(2010年高考江西卷文科5)不等式 的解集是( )
A． B． C． D．
6. (2010年高考浙江卷文科6)设0＜x＜ ，则“x sin2x＜1”是“x sinx＜1”的( )
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为0＜x＜ ，所以sinx＜1，故xsin2x＜xsinx，结合xsin2x与xsinx的取值范围相同，可知答案选B.
7. (2010年高考宁夏卷文科11)已知 ABCD的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在 ABCD的内部，则z=2x-5y的取值范围是( )
（A）（-14，16） （B）（-14，20） （C）（-12，18） （D）（-12，20）
【答案】B
【解析】由已知条件得 ，由 得 ，所以当直线经过点B（3，4）时， 最大，即 取最小为 ；当直线经过点D（0， ）时， 最小，即 取最大为20，又由于点 在四边形的内部，故 ．
8．（2010年高考广东卷文科8）“ >0”是“ >0”成立的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．非充分非必要条件 D．充要条件
9．（2010年高考陕西卷文科6）“a＞0”是“ ＞0”的( )
(A)充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
【答案】A
10．（ 2010年高考全国Ⅰ卷文科7）已知函数 .若 且， ，则 的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析1】因为 f(a)=f(b),所以lga=lgb,所以a=b(舍去)，或 ，所以a+b=
又0
【解析2】由0
（A） （B） (C) (D)
【解析】由 且 可得 ，但反之不成立，故选A.
二．填空题：
13．（2011年高考陕西卷文科12)如图，点 在四边形ABCD内部和边界上运动，那么 的最小值为 .
【答案】1
【解析】令 ， 所以 过 时在轴上截距最大，即 时 有最小值为
14．（2011年高考重庆卷文科15)若实数 的最大值是
【答案】
15．（2011年高考湖南卷文科14)设 在约束条件 下，目标函数 的最大值为4，则 的值为 ．
【答案】3
【解析】画出可行域，可知 在点 取最大值为4，解得 .
16．（2010年高考天津卷文科16）设函数f(x)=x- ,对任意x 恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为对任意x ， 恒成立，所以
当 时，有 对任意x 恒成立，即 ，解得 ，即 ；当 时，有 对任意x 恒成立，x无解，综上所述实数m的取值范围是 .
三．解答题：
17．(2011年高考安徽卷理科19)
（Ⅰ）设 证明 ，
（Ⅱ） ，证明 .
【证明】(Ⅰ)由于 ，所以
要证明：
只要证明：
只要证明：
只要证明：
只要证明：
由于 ，上式显然成立，所以原命题成立。
(Ⅰ)当 时，求函数 的表达式；
(Ⅱ)当车流密度 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时） 可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）
【解析】（Ⅰ）由题意：当 时， ；当 时，设
再由已知得 ，解得
故函数 的表达式为
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当 时， 为增函数，故当 时，其最大值为60×20=1200；
当 时，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以，当 时， 在区间[20,200]上取得最大值 .
综上，当 时， 在区间[0,200]上取得最大值 .
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.
19．（2010年高考辽宁卷文科24）已知a,b,c均为正数，证明：a2+b2+c2+ ≥6 ，并确定a,b,c为何值时，等号成立.
【解析】证明：(证法一)
因为a,b,c均为正数，由平均值不等式得
a2+b2+c2≥ ①
≥
所以 ≥ .②
故a2+b2+c2+ ≥
又 ≥ ，③
所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.当且仅当 时, ③式等号成立.即当且仅当a=b=c= 时,原式等号成立.
(证法二)
因为a,b,c均为正数,由基本不等式
a2+b2≥2ab,
b2+c2≥2bc
c2+a2≥2ac.
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①
同理 ≥ ②
故a2+b2+c2+( )2
≥ab+bc+ac+3 +3 +3
≥6 .③
所以原不等式成立
当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立.即当且仅当a=b=c= 时,原式等号成立.
20．（2010年高考广东卷文科19）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
【解析】设为该儿童分别预订 个单位的午餐和 个单位的晚餐，设费用为F，则F ，由题意知：
画出可行域：
变换目标函数：
21. （2009年高考江苏卷第19题）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 元，如果他卖出该产品的单价为 元，则他的满意度为 ；如果他买进该产品的单价为 元，则他的满意度为 .如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 和 ，则他对这两种交易的综合满意度为 .现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为 元和 元，甲买进A与卖出B的综合满意度为 ，乙卖出A与买进B的综合满意度为 .
(1)求 和 关于 、 的表达式；当 时，求证： = ；
(2)设 ，当 、 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
(3)记(2)中最大的综合满意度为 ，试问能否适当选取 、 的值，使得 和 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
【解析】(1)
当 时， ,
, =
（3）（方法一）由（2）知： =
由 得： ，
令 则 ，即： 。
同理，由 得：
另一方面，
当且仅当 ，即 = 时，取等号。
所以不能否适当选取 、 的值，使得 和 同时成立，但等号不同时成立。
22．设 为实数，函数 .
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)求 的最小值；
(3)设函数 ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式 的解集.
【解析】（1）若 ，则
（2）当 时，
当 时，
综上
（3） 时， 得 ，
当 时， ；
当 时，△>0,得：
讨论得：当 时，解集为 ;
当 时，解集为 ;
当 时，解集为 .
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