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向高斯学习讲究计算技巧
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向高斯学习讲究计算技巧 什锦八宝 卡尔?弗里德里奇?高斯(1777-1855)是德国数学家、物理学家和天文学家,他对人类科学发展的影响,可以与阿基米德、牛顿并列。高斯出生在一个贫苦的家庭里,父亲原本不打算让他上学,但高斯很小就表现出在数学方面的才能。他10岁那年,数学教师布特纳要求学生求出1到100这一百个自然数的和。不一会儿,高斯就把算出了准确答案的石板交给了老师。在这之前,老师从未教过学生计算等差数列方面的知识,这就是著名的“高斯问题”。高斯年轻时就在数学方面作出了不少贡献,11岁发现二项式定理,15岁读完牛顿等数学家的著作,掌握了牛顿的微积分理论,18岁进入大学,19岁发现了用圆规和直尺进行正十七边形的作图方法,解决了悬而未决的几何难题,22岁证明了代数学基本定理,即每一代数方程必具有一个复数形式的根。24岁时,他继续证明了算术基本定理,即每个自然数均可表示为素数乘积的形式,而且这种表示方式是唯一的。他在超几何级数、复变函数论、统计数学、椭圆函数论等方面都有重大贡献。面对这一系列成就,他却谦虚地说:“如果其他人也像我那样持续不断地深入钻研真理,他们也会作出我所作的那种发现。”如果我们今天也来解答那个著名的“高斯问题”:1+2+3……+98+99+100=?我想同学们大概不会采取把一百个自然数连续相加求和的办法吧,因为这个办法既不聪明又容易出错,更谈不上有什么计算技巧了。求1至100这一百个自然数的和,可以采取头尾两数相加的办法:1+100、2+99、3+98、4+97……这样能得到50个101,用101×50便能迅速地求出它们的和是5050。当然还有其它的解法,如果我们用凑整百数的办法:1+99、2+98、3+97、4+96……便能得到49个100,再用100×49的积加上中间的数50与最后的数100,也能求出这一百个自然数的和。如果我们展开想象的翅膀,可以把这一百个连续的自然数视为一个梯形,它的上底是1,下底是100,高是100。根据求梯形面积的公式:S=(a+b)×h÷2,这一百个自然数的和=(1+100)×100÷2=5050。如果我们能找到这个梯形的中位线,即这一百个自然数的中间的一个数,便可以根据梯形的另一个求面积的公式:S=m×h,这样一步就能求出得数。1至100的中间数应该在50与51之间,它是50.5,这一百个自然数的和=50.5×100=5050。啊!这个算法太妙了!假若德国数学家高斯还活在世上的话,他一定会坚起大拇指说:“中国的小学生真棒!”计算的时候要认真审题,讲究计算技巧,使计算方法既正确又迅速,既合理又灵活。72×35÷36、42×54÷18,这两道题如果按照运算顺序,应该先算乘后算除,而乘或除都需要用竖式来进行计算。通过审题发现,这两道题改变其运算顺序,是不会影响计算结果的。将72×35÷36改为72÷36×35,将42×54÷18改为42×(54÷18),只需两次口算就能迅速地计算出它们的结果:72÷36×35=2×35=70,42×(54÷18)=42×3=126。再如125×12÷20,我们可以将原式改写为125×=125×=75。这样的例子有很多,只要我们平时重视计算的技能与技巧的培养与训练,我们也会变得越来越聪明的。(本文作者郑俊选为中国教育学会小学数学教学专业委员会常务理事,北京景山学校特级教师。)
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