第18章 平行四边形
一、 选择题
1. 下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（　　）
A．平行四边形  B．正方形  C．等腰梯形  D．矩形
2. 如图，由六个全等的正三角形拼成的图，图中平行四边形的个数是（　　）
 
A．4个  B．6个  C．8个  D．10个
3. 在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，  ，添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是
A                 B   
C                 D 
4. 如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（　　）
 
A．90°  α  B．90°+  α  C．   D．360°α
5. 如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1 ，A 2 ，…A n 分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（ ）
  
A．n  B．n1  C．（  ） n1  D．  n
6. 在平面中，下列命题为真命题的是（　　）
A．四个角相等的四边形是矩形
B．只有对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，
C．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
D．四边相等的四边形是菱形
7. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120° 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（　　）
 
A．15°或30°  B．30°或45°  C．45°或60°  D．30°或60°
8. 下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是
A．对角线互相垂直  B．对角线互相平分
C．对角线相等  D．四个角都是直角
9. 如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S 1 、S 2 ，那么S 1 、S 2 的大小关系是（　　）
 
A．S 1 ＞S 2  B．S 1 =S 2
C．S 1 ＜S 2  D．S 1 、S 2 的大小关系不确定
10. 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC，∠B=60°，BC=3，△ABE的周长为6，则等腰梯形的周长是（　　）
 
A．8  B．10  C．12  D．16
11. 下列命题正确的是（　　）
A．同一边上两个角相等的梯形是等腰梯形
B．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
C．如果顺次连接一个四边形各边中点得到的是一个正方形，那么原四边形一定是正方形
D．对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半
12. 平行四边形的对角线一定具有的性质是（　　）
A．相等  B．互相平分  C．互相垂直  D．互相垂直且相等
二、填空题
13. 已知平行四边形的三个顶点坐标分别为（-1，0）（0，2）（2，0），则在第四象限的第四个顶点的坐标为___________。
14. 已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1（如图），把线段AE绕点A旋转， 使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为____________ .
 
15. 已知平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，若AB=6，AC=8，则BD的取值范围是   ．
16. 如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是 　_________　 ．
 
17. 如图，矩形ABCD中，AB=2，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD=　_________　．
 
18. 将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2=   度．
 
三、解答题
19. 如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，点P是边AB上的一个动点(不与点A、点B重合)，点Q在边AD上，将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠，使B点与E点重合，A点与F点重合，且P、E、F三点共线．
（1）若点E平分线段PF，则此时AQ的长为多少？
（2）若线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2，则此时AP的长为多少？
（3）在“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者中，是否存在两个在同一条直线上的情况？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由．
 
20. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
 
21. 如图，矩形ABCD中，点E在CD边的延长线上，且∠EAD=∠CAD．求证：AE=BD．
 
22. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF.
（1）写出图中所有的全等三角形；
（2）求证：BE=DF.
 
 
答案
一、选择题
1、 B. 2、 B． 3、 D. 4、 C． 5、 B． 6、 D. 7、 D． 8、 A． 9、 A．
10、 A． 11、 D． 12、 B．
二、填空题
13、 (-3,2).
14、 1或5.
15、 4＜BD＜20．
16、   .
17、 2  ．
18、 70°．
三、解答题
19、（1）由△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠，得到△QFP和△PCE，则△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE
∴PA=PF，PB=PE，∠QPA=∠QPF，∠CPB=∠CPE．
∵EF=EP，
∴AB=AP+PB=FP+PB=EF+EP+PB=3PB．
∵AB=4，
∴PB=  AB =  ，
∴AP  AB =  ．
∵180°=∠QPA+∠QPF+∠CPB+∠CPE=2（∠QPA+∠CPB），
∴∠QPA+∠CPB=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠CPB+∠PCB=90°，
∴∠QPA=∠PCB，
∴△QAP∽△PBC，
∴  ，
∴  ，
∴  ；
（2）由题意，得PF=EP+2或EP=FP+2．
当EPPF=2时，
∵EP=PB，PF=AP，
∴PBAP=2．
∵AP+PB=4，
∴2BP=6，
∴BP=3，
∴AP=1．
当PFEP=2时，
∵EP=PB，PF=AP，
∴APPB=2．
∵AP+PB=4，
∴2AP=6．
∴AP=3．
故AP的长为1或3；
（3）①若CE与点A在同一直线上，如图2，连接AC，点E在AC上，
 
在△AEP和△ABC中，
∠APE=∠B=90°，∠EAP=∠BAC，
∴△AEP∽△ABC，
∴  ．
设AP=x，则EP=BP=4x，
在Rt△ABC中，
∵AB=4，BC=2，
∴AC=2  ，
∴  .
解得  ．
②若CE与QF在同一直线上，如图3，
 
∵△AQP≌△EQP，△CPB≌△CPE，
∴AP=EP=BP，
∴2AP=4，
∴AP=2．

20、（1）在正方形ABCD中，
∵  ，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE=CF；
（2）GE=BE+GD成立．理由是：
∵△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵  ，
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．
21、∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDA=∠EDA=90°，AC=BD．
在△ADC和△ADE中．
∵∠EAD=∠CAD
AD="AD"
∠ADE=∠ADC，
∴△ADC≌△ADE（ASA）．
∴AC=AE．
∴BD=AE．
22、（1）图中全等的图形有：△ADF≌△CBE，△ABE≌△CDF，△ABC≌△DCA；
（2）∵ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，
又∵AE=CF，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴BE=DF． 

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