八年级第17章勾股定理专项练习
练习一(18.1)
1. 如图字母B所代表的正方形的面积是 ( )
A. 12 B. 13 C. 144 D. 194
2.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5远的水底,竹竿高出水面0.5,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水平刚好相齐,河水的深度为( ).
A.2 B.2.5c C.2.25 D.3
3.△ABC中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是( )
A.42 B.32 C.42或32 D.37或33
4、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）
A、5B、25C、7D、15
5. 直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( ) A. ab=h2 B. a+b=2h C. += D. +=
6.已知，如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的动点， 于E，于F，如果AB=3，AD=4，那么（ ）
A.； B. ＜＜；
C. D. ＜＜
7．（1）在Rt△ABC中，∠C=90°．
①若AB=41，AC=9，则BC=_______；
②若AC=1.5，BC=2，则AB=______，△ABC的面积为________．
8.在布置新年联欢会的会场时,小虎准备把同学们做的拉花用上,他搬来了一架高为2.5米的梯子,要想把拉花挂在高2.4米的墙上,小虎应把梯子的底端放在距离墙________米处.
9.在△ABC中，∠C=900,，BC=60c,CA=80c,一只蜗牛从C点出发，以每分20c的速度沿CA-AB-BC的路径再回到C点，需要______分的时间.
10.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20d、3d、2d，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是_________
11（荆门）.已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4｜＋＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.
12.如图7所示,Rt△ABC中,BC是斜边,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合,如果AP=3,你能求出PP′的长吗?
13.如图4为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米?
14.如图2，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4米，高3米，长20米，棚的斜面用塑料布遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.
15．如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD的面积．
16.如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60,BC=84,AE=100,则这条小路的面积是多少?
17．4个全等的直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c．现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．
18. 如图3,长方体的长BE=15c,宽AB=10c,高AD=20c,点在CH上,且C=5c,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点,需要爬行的最短距离是多少?
19．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70k/h．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方30处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50．这辆小汽车超速了吗？
20．如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8c，长BC为10c．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？
21.有一块三角形的花圃ABC,现可直接测得∠A=30,AC=40,BC=25,请你求出这块花圃的面积.
22.如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,且AB+BC=18c,若要求出CD和AC的长,还需要添加什么条件?
23.四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第二个正方形AEGH，如此下去……．
⑴记正方形ABCD的边长为，按上述方法所作的正方形的边长依次为，请求出的值；
⑵根据 以上规律写出的表达式．
24.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC长为 p，BBl是∠ABC的平分线交AC于点B1，过B1作B1B2⊥AB于点B2，过B2作B2B3∥BC交AC于点B3，过B3作B3B4⊥AB于点B4，过B4作B4B5∥BC交AC于点B5，过B5作B5 B6⊥AB于点B6，…，无限重复以上操作．设b0=BBl，b1=B1B2，b2=B2B3，b3=B3B4，b4=B4B5，…，bn=BnBn+1，…．
(1)求b0，b3的长；
(2)求bn的表达式(用含p与n的式子表示，其中n是正整数)
25、已知：在Rt△ABC中，∠C＝900，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，设△ABC的面积为S，周长为l．
⑴填表：
三边a、b、ca＋b－c
3、4、52
5、12、134
8、15、176
⑵如果a＋b－c＝，观察上表猜想：＝__________(用含有的代数式表示)．
⑶证明⑵中的结论．
26．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图（一）中四边形ABCD就是一个“格点四边形”．
（1）求图（一）中四边形ABCD的面积；
（2）在图（二）方格纸中画一个格点三角形EFG，使△EFG的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对称图形．
图（一） 图（二）
练习二(18.2)
1.有五组数：①25，7，24；②16，20，12；③9，40，41；④4，6，8；⑤32,42,52，以各组数为边长，能组成直角三角形的个数为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
2.三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )
A.6 B.4.5 C.2.4 D.8
3.下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a、4a、5a（a>0）；⑤2-n2、2n、2+n2（、n为正整数，且>n）其中可以构成直角三角形的有（ ）
A、5组； B、4组； C、3组； D、2组
4.在同一平面上把三边BC=3，AC=4、AB=5的三角形沿最长边AB翻折后得到△ABC′，则CC′的长等于（ ）
A、； B、； C、； D、
5. 下列说法中, 不正确的是 ( )
A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形
B. 三个角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形
C. 三边长度之比为3:4:5的三角形是直角三角形
D. 三边长度之比为5:12:13的三角形是直角三角形
6（呼和浩特）如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A. CD、EF、GHB. AB、EF、GH
C. AB、CD、GHD. AB、CD、EF
7.如图4所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7c,则正方形A,B,C,D的面积的和是_______c2.
8．已知2条线段的长分别为3c和4c，当第三条线段的长为_______c时，这3条线段能组成一个直角三角形．
9、在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是________．
10. 传说,古埃及人曾用＂拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_______厘米,______厘米,________厘米,其中的道理是______________________
11．小芳家门前有一个花圃，呈三角形状，小芳想知道该三角形是不是一个直角三角形，请问她可以用什么办法来作出判断？你能帮她设计一种方法吗？
12.给出一组式子:32+42=52,82+62=102,152+82=172,242+102=262……
(1)你能发现上式中的规律吗?
(2)请你接着写出第五个式子.
13．观察下列各式，你有什么发现？
32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41……
这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？请你结合有关知识进行研究．如果132=b+c，则b、c的值可能是多少
14．如图，是一块由边长为20c的正方形地砖铺设的广场，一只鸽子落在点A处，它想先后吃到小朋友撒在B、C处的鸟食，则鸽子至少需要走多远的路程？
15．如图，在△ABC中，AB=AC=13，点D在BC上，AD=12，BD=5，试问AD平分∠BAC吗？为什么？
16．如图，是一个四边形的边角料，东东通过测量，获得了如下数据：AB=3c，BC=12c，CD=13c，AD=4c，东东由此认为这个四边形中∠A恰好是直角，你认为东东的判断正确吗？如果你认为他正确，请说明其中的理由；如果你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断∠A是直角？
17. 学习了勾股定理以后,有同学提出”在直角三角形中,三边满足a+b=c,或许其他的三角形三边也有这样的关系’’.让我们来做一个实验!
(1)画出任意一个锐角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是a=______;b=_______;较长的一条边长c=_______. 比较a+b=______c(填写’’>’’ , ”<’’, 或’’=’’);
(2)画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是a=______;b=_______;较长的一条边长c=_______. 比较a+b=______c(填写’’>’’ , ”<’’, 或’’=’’);
(3)根据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题,你猜想的结论是:_________________.
对你猜想与的两个关系，利用勾股定理证明你的结论．
18.如图（1）所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图（2）所示．已知展开图中每个正方形的边长为1．
（1）求在该展开图中可画出最长线段的长度？这样的线段可画几条？
（2）试比较立体图中与平面展开图中的大小关系？
18.1答案
1.C 2.A 3.C 4.C 5.D 6.A
7．（1）①40；②2.5；1.5
8.0.7 9. 12 10.25d
11.2或或 12.PP′=3. 13. 7米 14. 100平方米 15．12.5
16.解:∵BE==80(),
∴EC=84-80=4(),∴S阴=4×60=240(2).
17．由图可知，边长为a、b的正方形的面积之和等于边长为c的正方形的面积
18. 25c
19．超速，经计算的小汽车的速度为72k/h
20．由条件可以推得FC=4，利用勾股定理可以得到EC=3c．
21.提示:分锐角、钝角三角形两种情况:(1)S△ABC=(200+150)2;(2)S△ABC=(200-150)2.
22.提示:可给特殊角∠A=∠BCD=30°,也可给出边的关系,如BC:AB=1:2等等.
23解：⑴;
;
⑵
∵;;
∴
24．(1)b0=2p
在Rt△B1B2中，b1=P．同理．b2= p/2
b3=3p/4
(2)同(1)得：b4=( /2)2p．
∴bn=( /2)n-1(n是正整数)．
25、⑴填表：
三边a、b、ca＋b－c
3、4、52
5、12、1341
8、15、176
⑵＝⑶证明：∵a＋b－c＝，∴a＋b＝＋c，
∴a2＋2ab＋b2＝2＋c2＋2c．
∵a2＋b2＝c2，∴2ab＝2＋2c
∴(＋2c)
∴＝＝
26解：（1）方法一：S＝×6×4
＝12
方法二：S＝4×6－×2×1－×4×1－×3×4－×2×3＝12
（2）（只要画出一种即可）
18.2节答案
1.C 2.D 3.B 4.D 5.B 6.B
7.49 8．5c或c 9. 108 10. 6,6,10 勾股定理的逆定理
11．方法不惟一．如：分别测量三角形三边的长a、b、c（a≤b≤c），
然后计算是否有a2+b2=c2，确定其形状
12.(1)(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2(n>1).
(2)352+122=372.
13．其中的一个规律为（2n+1）=2n（n+1）+[2n（n+1）+1]．
当n=6时，2n（n+1）、[2n（n+1）+1]的值分别是84、85
14．AB=5c，BC=13c．所以其最短路程为18c
15．AD平分∠BAC．因为BD2+AD2=AB2，
所以AD⊥BC，又AB=AC，所以结论成立
16．不正确．增加的条件如：连接BD，测得BD=5c．
17.解：若△ABC是锐角三角形，则有
若△ABC是钝角三角形，为钝角，则有．
当△ABC是锐角三角形时，
证明：过点A作ADBC，垂足为D，设CD为，则有BD＝
根据勾股定理，得
即．∴
∵，∴．∴．
当△ABC是钝角三角形时，
证明：过B作BDAC，交AC的延长线于D．
设CD为，则有
根据勾股定理，得．
即．
∵，∴，∴．
18解：（1）在平面展开图中可画出最长的线段长为．
如图（1）中的，在中
，由勾股定理得：
答：这样的线段可画4条（另三条用虚线标出）．
（2）立体图中为平面等腰直角三角形的一锐角，
．
在平面展开图中，连接线段，由勾股定理可得：
．
又，
由勾股定理的逆定理可得为直角三角形．
又，为等腰直角三角形．．
所以与相等．
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