一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)
1.设Y对X的回归直线方程=2-1.5x，当变量x增加一个单位时，y平均( )
A.增加1.5个单位 B.增加2个单位
C.减少1.5个单位 D.减少2个单位
解析：由回归直线方程斜率的意义易知C正确.
答案：C
2.方程C=C的解集为( )
A.{4} B.{14}
C.{4,6} D.{14,2}
解析：由C=C得x=2x-4或x+2x-4=14，解得x=4或x=6.经检验知x=4或x=6符合题意.
答案：C
3.某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为
( )
A. B.
C. D.
解析：连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为
P=C12=.
答案：A
4.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方程，求得回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都为t，那么下列说法正确的是
( )
A.l1与l2相交点为(s，t)
B.l1与l2相交，相交点不一定是(s，t)
C.l1与l2必关于点(s，t)对称
D.l1与l2必定重合
解析：因为线性回归方程过样本点的中心(s，t)，所以l1，l2都过点(s，t)，即相交于(s，t).
答案：A
5.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=，k=1,2，…，则P(2A. B.
C. D.
解析：P(2答案：A
6.3个人坐在一排6个座位上，3个空位只有2个相邻的坐法种数为( )
A.24 B.36
C.48 D.72
解析：先将三个人排好，共有6种排法，空出4个位，再将空座位插空，有4×3=12种排法，故有6×12=72种排法.
答案：D
7.如果χ2≥5.024，那么认为“X与Y有关系”犯错的概率为( )
A.1% B.95%
C.5% D.99%
解析：χ2>3.841，故有95%的把握认为有关，犯错的概率为5%.
答案：C
8.(x-)n的展开式中，第3项的系数为36，则含x2的项为( )
A.36 B.-36
C.36x2 D.-36x2
解析：(x-)n的展开式的通项为
Tk+1=Cxn-k(-)k.
∴36=C(-)2，解得n=4.
令n-k=2得k=2，故含x2的项为T3=36x2.
答案：C
9.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：记“第一次摸出正品”为事件A，“第二次摸到正品”为事件B，则P(A)==，
P(A∩B)==.
故P(B|A)==.
答案：C
10.已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X～N(110,52)，据此估计，成绩落在区间(100,120]内的人数为( )
A.55 B.56
C.57 D.58
解析：∵X～N(110,52)，
∴μ=110，σ=5.
又P(100故所求人数为0.954 4×60≈57.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11.从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，以X表示取到白球的个数，则P(X=1)=________.
解析：P(X=1)===0.6.
答案：0.6
12.一颗骰子抛掷60次，出现1点的次数为X，则D(X)=________.
解析：一颗骰子抛掷1次，出现1点的概率为，
则X～B(60，)，D(X)=60××=.
答案：
13.在某次学校的游园活动中，高二(2)班设计了这样一个游戏：在一个纸箱里放进了5个红球和5个
个白球，这些球除了颜色不同外完全相同，一次性从中摸出5个球，摸到4个或4个以上红球即为中奖，则中奖的概率是________.(精确到0.001)
解析：设摸出的红球个数为X，则X服从超几何分布，其中N=10，M=5，n=5，于是中奖的概率为P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=+≈0.103.
答案：0.10314.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有________种.
解析：因为10÷8的余数为2，所以可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C=28种走法.
答案：28
三、解答题(本大题共4小题，共50分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分12分)某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，于是该单位领导决定在餐厅墙壁上张贴文明标语看是否有效果，并对文明标语张贴前后餐椅的损坏情况作了一个统计，具体数据如下：
损坏餐椅数末损坏餐椅数合计
文明标语张贴前40160200
文明标语张贴后30170200
合计70330400
试根据以上数据判断在餐厅墙壁上张贴文明标语对减少餐椅损坏是否有关系.
解：根据题中的数据得
χ2=≈1.73，
因为1.73<3.841，所以没有理由认为在餐厅墙壁上张贴文明标语对减少餐椅损坏有关系.
16.(本小题满分12分)已知(-)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列.
(1)证明展开式中没有常数项;
(2)求展开式中所有的有理项.
解：由题意：2C·=1+C·()2，
即n2-9n+8=0，
∴n=8(n=1舍去).
∴Tr+1=C()8-r·(-)r=(-)r·Cx·x=(-1)r· (0≤r≤8，r∈Z)
(1)若Tr+1是常数项，则=0，
即16-3r=0，
∵r∈Z，这不可能，
∴展开式中没有常数项;
(2)若Tr+1是有理项，当且仅当为整数，
∴0≤r≤8，r∈Z，
∴r=0,4,8，即展开式中有三项有理项，分别是：T1=x4，T5=x，T9=x-2.
17.(本小题满分12分)(2018·湖北高考)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位： mm)对工期的影响如下表：
降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900
工期延误
天数Y02610
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，求：
(1)工期延误天数Y的均值与方差;
(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率.
解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：
P(X<300)=0.3，P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4，
P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2，
P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.
所以Y的分布列为
Y02610
P0.30.40.20.1
于是E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3，
D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.
故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.
(2)由概率的加法公式，
得P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7.
又P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)
=0.9-0.3=0.6，
所以由条件概率得P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)===.
故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.
18.(本小题满分14分)某校举办一场蓝球投篮选拔比赛，比赛的规则如下：每个选手先后在二分区、三分区和中场跳球区三个位置各投一球，只有当前一次球投进后才能投下一次，三次全投进就算胜出，否则即被淘汰.已知某选手在二分区投中球的概率为，在三分区投中球的概率为，在中场跳球区投中球的概率为，且
在各位置投球是否投进互不影响.
(1)求该选手被淘汰的概率;
(2)该选手在比赛中投球的个数记为X，求随机变量X的分布列与数学期望E(X).
解：(1)法一记“该选手能投进第i个球”的事件为Ai(i=1,2,3)，
则P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，
∴该选手被淘汰的概率
P=P(+A1∩+A2∩A2∩)
=P(1)+P(A1)P()+P(A1)P(A2)P()
=+×+××=.
法二：记“该选手能投进第i个球”的事件为Ai(i=1,2,3)，
则P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=.
∴该选手被淘汰的概率
P=1-P(A1∩A2∩A3)=1-P(A1)P(A2)P(A3)
=1-××=.
(2)X的可能值为1,2,3，P(X=1)=P()=，
P(X=2)=P(A1∩)=P(A1)P()=×=，
P(X=3)=P(A1∩A2)=P(A1)P(A2)=×=.
∴X的分布列为
X123
P
∴E(X)=1×+2×+3×=.
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