江西省吉安一中2013-2014学年度上学期高二第二次段考数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（每小题5分，共50分）1. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图是全等的矩形如图所示，则这个几何体可以为：①斜三棱柱；②四棱柱；③圆柱其中真命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 32. 双曲线与抛物线有一个公共焦点F，过点F且垂直于实轴的弦长为，则双曲线的离心率等于A. B. C. D. 3. 关于直线及平面，下列命题中正确的是A. 若∥，则∥B. 若∥∥，则∥C. 若∥，则D. 若∥，则的直线都可以用方程表示B. 经过定点的直线都可以用方程表示C. 经过任意两个不同点的直线都可用方程表示D. 不经过原点的直线都可以用方程表示5. 入射光线在直线上，经过轴反射到直线上，再经过y轴反射到直线上，则直线的方程为A. B. C. D. 6. 若向量a在y轴上的坐标为0，其他坐标不为0，那么与向量a平行的坐标平面是A. xOy平面B. xOz平面C. yOz平面D. 以上都有可能7. 已知双曲线C：的焦距为10，点在C的渐近线上，则C的方程为A. B. C. D. 8. 对于常数，“”是“方程的曲线是椭圆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知圆C：及直线当直线被C截得的弦长为时，则A. B. C. D. 10. 如图所示，已知球O为棱长为1的正方体的内切球，则平面截球O的截面面积为A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共25分）11. 椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是。若成等比数列，则此椭圆的离心率为__________。12. 已知抛物线方程，则它的焦点坐标为________。13. 已知正三棱锥，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为_________。14. 已知命题“存在，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是________。15. 下列命题中正确的是_________。①如果幂函数的图象不过原点，则或；②定义域为R的函数一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和；③已知直线两两异面，则与同时相交的直线有无数条；④方程表示经过点的直线；⑤方程表示的曲线不可能是椭圆。三、解答题16. （12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，。（Ⅰ）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（Ⅱ）证明平面PDC⊥平面ABCD。17.（12分）已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线的离心率；若“”为真，“”为假，求实数m的取值范围。18.（12分）已知与曲线相切的直线交x轴、y轴于A、B两点，O为原点，且。（1）求证：曲线C与直线相切的条件是；（2）求线段AB中点的轨迹方程。19. （12分）如图，已知三棱锥O－ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且，E是OC的中点。（1）求O点到面ABC的距离；（2）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（3）求二面角的余弦值。20.（13分） 已知抛物线的焦点F以及椭圆（）的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：上。（1）求抛物线和椭圆的标准方程；（2）过点F的直线交抛物线于A，B两不同点，交y轴于点N，已知，则是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由。21.（14分）已知椭圆，离心率为的椭圆经过点。（1）求该椭圆的标准方程；（2）过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线分别与椭圆交于A，B和C，D，是否存在常数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由。【试题答案】一、选择题：1. B2. A3. C4. C5. B6. B7. A8. B9. C10. A二、填空题： 11. 12. 13. 14. 或15. ①②③三、解答题：16. （12分）解：（1）如图在四棱锥中，因为底面ABCD是矩形，所以AD＝BC，且AD∥BC，又因为AD⊥PD，故∠PAD或其补角是异面直线PA与BC所成的角。在Rt△PDA中，tan∠PAD＝，所以异面直线PA与BC所成角的正切值为2。（2）证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，，因此AD⊥平面PDC，而平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD。17. 解： p真q假，则空集；p假q真，则故m的取值范围为18. 解：（1）略（2）19. 解：（1）取BC的中点D，连AD、OD∵OB＝OC，则OD⊥BC、AD⊥BC，∴BC⊥面OAD，过O点作OH⊥AD于H，则OH⊥面ABC，OH的长就是所要求的距离。∵OA⊥OB、OA⊥OC，∴OA⊥面OBC，则OA⊥OD。，在直角三角形OAD中，有。（另解：由知，。）（2）取OA的中点M，连EM、BM，则EM∥AC，∠BEM是异面直线BE与AC所成的角。求得：，。cos∠BEM＝。（3）连结CH并延长交AB于F，连结OF、EF。∵OC⊥面OAB，∴OC⊥AB。又∵OH⊥面ABC，∴CF⊥AB，EF⊥AB，则∠EFC就是所求二面角的平面角，作EG⊥CF于G，则，在直角三角形OAB中，，在直角三角形OEF中，，Sin∠EFG＝（或表示为）方法二：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。20. 解析：（1）；（2）－1试题分析：（1）根据抛物线的焦点坐标满足圆的方程确定等量关系，求解抛物线方程；根据椭圆的焦点和右定点也在圆上，确定椭圆方程；（2）利用已知的向量关系式进行坐标转化求出，然后通过直线与抛物线方程联立，借助韦达定理进行化简并求值。试题解析：（1）由抛物线的焦点在圆O：上得：抛物线3分同理由椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：上可解得：。得椭圆。6分（2）是定值，且定值为－1。设直线AB的方程为，则。联立方程组，消去y得：，，且，9分由得：，整理得：，13分21. 解：（1）设椭圆方程为，则，即，由此得，故椭圆方程是，将点的坐标代入，得，解得，故椭圆方程是。4分（2）问题等价于，即是否是定值问题。椭圆的焦点坐标是，不妨取焦点（2，0），（i）当直线AB的斜率存在且不等于零时，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程是，代入椭圆方程并整理得。设，则。根据弦长公式，8分以代换k，得所以即10分（ii）当直线AB的斜率不存在或等于零时，一个是长轴长度，一个是通径长度，此时，即。综上所述，故存在实数，使得。14分 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源www.gkstk.cn江西省吉安一中2013-2014学年高二12月第二次段考数学理试题（WORD版）
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