-宝安中学高二年级理科数学第一届 “王子杯”数学竞赛试题命题：许世清 审题：周晓兰 蔡毅 陈少晗本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分，第Ⅱ卷为9-17题，共80分。全卷共计120分。考试时间为90分钟。注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题纸上。2、第Ⅰ卷、第Ⅱ卷均完成在答题纸上。3、考试结束，监考人员将答题纸收回。 第Ⅰ卷 （本卷共计40 分）一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题5分，共计40分）1.命题“”的逆否命题是或则 B若且则C 若则或 D若则且2.等比数列中，已知，，则=A 1 B 2 C 3 D 43．条件，条件，则的A、充要条件 B、既不充分也不必要条件 C、必要不充分条件 D、充分不必要条件4.在△ABC中，已知,那么△ABC一定是 A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形 5.设双曲线以椭圆的长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为 A. B. C. D. B. C. D.7.椭圆的准线方程是A B C D 8.已知，，且，，，则的最小值为A、 B、 C、 D、第Ⅱ卷 （本卷共计80分）二、填空题：（每小题5分，共计20分）9.在等差数列中，公差＝1，＝8，则＝　 10.若直线l过抛物线(a>0)的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=_______的不等式的解集为，解关于的不等式”，给出了如下一种解法：解析：由的解集为，得的解集为， 即关于的不等式的解集为.参考上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ；12.已知方程表示的曲线是抛物线，则实数k的值等于 三、解答题：（每题12分，共计60分）13. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c=，且（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积..定义在上对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围。. 设函数，对于正数数列，其前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）是否存在等比数列，使得对一切正整数都成立？若存在，请求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由..已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，，求的最大值． 11. 12. 解答题：13. 解：∵A+B+C=180° 由 …………1分 ∴ ………………3分 整理，得 …………4分 解得： ……5分 ∵ ∴C=60° ………………6分（2）由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－2ab …………7分∴=25－3ab 10分∴ …………12分 【解】 (1)由根与系数的关系解得：a＝3.所以不等式变为：2x2－x－3>0，解集为： (－∞， －1)， ＋∞.……………………6分 (2)由题意知：x2＋bx＋3－b≥0，，设，…………11分所以当且仅当即时，，故.…………12分15. 解：要使原不等式恒成立，只要恒成立由恒成立得由恒成立故所求a的取值范围是16. 解：（1）由， ， 得 ① ， ②即 ， ………分即 ，即 ∵＞，∴ ，即数列是公差为2的等差数列，……分由①得，，解得，因此 ，数列的通项公式为. ………分（2）假设存在等比数列，使得对一切正整数都有 ③ 当时，有 ④③－④，得 ， 由得， ………………1分又满足条件，因此，存在等比数列，使得对一切正整数都成立. …………………分 （1）解：设，则，∵，∴． 即，即，所以动点的轨迹的方程． （2）解：设圆的圆心坐标为，则． ①圆的半径为． 圆的方程为．令，则，整理得，． ②由①、②解得，． 不妨设，，∴，．∴ ， ③ 当时，由③得，． 当且仅当时，等号成立．当时，由③得，． 故当时，的最大值为． 1QPF0yx广东省宝安中学高二第一届“王子杯”竞赛数学（理）试题
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