辽宁省东北育才学校2014-2014学年高二第一次月考
数学试题
一、：（每小题5分，共60分）
1．下列命题中的假命题是
A． 且 ，都有
B． ，直线 恒过定点
C． 使 是幂函数
D． ，函数 都不是偶函数
答案:D
2．已知命题 R， R， 给出下列结论：①命题“ ”是真命题；②命题“ ”是假命题；③命题“ ”是真命题；④命题“ ”是假命题.其中正确的是
A．②④B．②③C．③④D．①②③
答案:B
3．给定下列四个命题：
① ，使 成立；
②已知命题 ，那么命题 为 ，使 ；
③若两个平面都和第三个平面平行，那么这两个平面平行；
④若两个平面都和第三个平面垂直，那么这两个平面平行.
其中真命题个数是
A．0 B．1 C．2D．3
答案:B
4．设向量 ， ，则“ ”是“ ”的
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案:A
5．已知 ， 表示两个不同的平面，m为平面 内的一条直线，则“ ”是“ ” 是
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案:B
6．在 中， 是 的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案:C
7．设F1，F2是椭圆 的两个焦点，P是椭圆上的点，且 ，则 的面积为
A．4 B． C． D．6
答案:D
8．过点 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为 ，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则 的值为
A． B． C． D．
答案：D
9．F1，F2是椭圆 的两个焦点， 是长轴的两个端点，若 是椭圆上异于 的动点，考察下面四个命题：
① ；
② ；
③若 越接近于 ，则离心率越接近于1；
④直线 与 的斜率之积等于 ．
其中正确命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C
10．已知 为椭圆 的两个焦点， 为椭圆短轴的一个端点， ，则椭圆的离心率的取值范围
A． B． C． D．
答案：A
11．设 为曲线 的焦点， 是曲线 与 的一个交点，则 的值为
A． B． C． D．
答案：B
12．已知点P是椭圆C： 上的动点，F1、F2分别是左右焦点，O为坐标原点，则 的取值范围是
A．[0, ] B． C． D．[0, ]
答案：D
二、题：（每小题5分，共20分）
13．给定下列四个命题：
①“ ”是“ ”的充分不必要条件；②若“ ”为真，则“ ”为真；
③若 ，则 ；④若集合 ，则 .
其中为真命题的是 （填上所有正确命题的序号）.
答案:①④
14．若直线l: 与圆 没有公共点，则过点 的直线与椭圆 的公共点个数为 ．
答案:2
15．给出下列四个命题：
①命题“ ”的否定是“ ”；
②在空间中， 、 是两条不重合的直线， 、 是两个不重合的平面，如果 ， ， ，那么 ；
③将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象；
④函数 的定义域为 ，且 ,若方程 有两个不同实根，则 的取值范围为 .
其中正确命题的序号是 ．
答案:③④
16．设 为双曲线 上一点, 分别是双曲线的左、右焦点，若 的面积为12，则 等于 ．
答案：
三、解答题：（17题满分10分，18?22题每题12分，共70分）
17．（本小题满分10分）
设命题 ：函数 的定义域为 ；命题 ：不等式
对一切正实数均成立，如果命题 或 为真命题，命题 且 为假命题，求实数 的取值范围．
答案： 真： ； 真： .综上:
18．（本小题满分12分）
设动直线 垂直于 轴，且与椭圆 交于 两点， 是 上满足 的点，求点 的轨迹方程．
解：设点 ，则由方程 得
两点的坐标分别为
又
即
又直线 与椭圆交于两点，
点 的轨迹方程为 …………………12分
19.（本小题满分12分）
已知椭圆 ，过点 的直线 与椭圆 交于两点 ， 为坐标原点，若 为直角三角形，求直线 的斜率.
所以 ，
所以 ，解得 . ………………8分
（?）当 或 为直角时，不妨设 为直角，
此时， ，所以 ，即 ………①，
又 ………②，
将①代入②，消去 得 ，
解得 或 （舍去），
将 代入①，得 ，
所以 ，
经检验，所求 值均符合题意，综上， 的值为 和 .………………12分
20.（本小题满分12分）
设直线 与椭圆 相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点.
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若 的面积取得最大值时的椭圆方程．
得 代入上式，得 ……………8分
于是，△OAB的面积
其中，上式取等号的条件是 即 ……………………10分
由 可得
将 及 这两组值分别代入①，均可解出
∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是 --------------12分
21.（本小题满分12分）
若椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，短轴的一个端点与左右焦点 、 组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ) 过点 作直线 与椭圆 交于 、 两点，线段 的中点为 ,求直线 的斜率 的取值范围.
当 时， ，
且 ……11 分
综上所述，直线 的斜率 的取值范围是 . ……12 分
22.（本小题满分12分）
已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，且经过点 ，过点 的直线 与椭圆 相交于不同的两点 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）是否存直线 ，满足 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）设椭圆 的方程为 ，由题意得
解得 ， ，故椭圆 的方程为
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