吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班下学期期中教学质量检测数学（科）本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟1．答前，考生将自己的、填写使用0.5毫米的黑色请按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效本大题共12题，每小题5分1．设全集，集合，，则A. B. C. D. 2．为虚数单位，则复数A．B．C．D．3．若，则是成立的A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件．在定义域内既是奇函数又为增函数的是A. B.C.D.5．已知，，向量与的夹角为，则A．B．C．1D．2．双曲线，则双曲线离心率A．B．3C．D．．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为A．3B．2C．1D．．等差数列的前项和为，且，则公差等于A．－B．C．D．－2．某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S的值是A．－3B．－C． D． 2．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是A．B．C．D． 1．若不等式，对满足的一切实数恒成立，则实数的取值范围是A．B． C．或D．或 1．已知函数，的部分图像如图，则A． 1B． 0C． D．4个小题,每小题5分。13．已知实数满足，则目标函数的最大值为14．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等 腰直角三角形，则这个几何体的体积为　　　　　. ．已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，在抛物线上，且＝．则＋的最小值是16．定义域为的函数图象上两点．是图象上任意一点，其中.已知向量，若不等式对任意恒成立，则称函数在上“k阶线性近似”．若函数在上“k阶线性近似”，则实数的k取值范围为　　　　　. 三解答题：本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）在中，内角，，的对边分别为，，，且.求角的大小；若，，求的面积．18．（本小题满分12分） “开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1-号扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：~30；~40（单位：岁），其猜对歌曲名称人数如图所示．写出列联表；判断是否有9%的把握认为猜对与年龄有关？说明你的理由．（下面的临界值表供参考）P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.8283名幸运奖项， 求至少有一人年龄在20~30岁之间的概率． 其中）19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，，是棱上的一点，是的延长线与的延长线的交点，且∥平面．求证：；求点到平面的距离．（本小题满分12分）函数，.（为常数，为自然对数的底）当时，求的单调区间；若对任意的，，使 ，求实数的取值范围；若函数在上无零点，求的最小值．21．（本小题满分12分）的右焦点为，离心率，是椭圆上的动点．；若与的斜率乘积，动点满足, 为常数。问是否存在两个定点,，使得为定值？若存在，求,的坐标，若不存在，说明理由（Ⅲ）若点在第一象限，且点关于原点对称，点在上的射影为，连接并延长交椭圆于点．证明：．如图，是⊙的一条切线，切点为，都是⊙的割线， 已知. 证明：；（Ⅱ）证明：.以直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为 (为参数，)，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线C相交于A、B两点，当变化时，求的最小值．已知函数，且的解集为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求证：.2013—2014学年度高中毕业班下学期期中教学质量检测数学（文科）答案及评分标准1．选择题123456789101112DBACBCBDBCCC2．填空题13. 【答案】 14. 【答案】 15. 【答案】 16. 【答案】解：在中，易知：. .……………2分∴.而角为三角形内角，所以 …3分∴.∴. .……………4分∴. .……………6分 在中，∴. ……………8分.∴或 ……………10分.∴ ……………12分：（Ⅰ）根据所给的二维条形图得到列联表，错误合计）10304030~40（岁）107080合计200120……………3分 根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2==3∵…5分∴有9%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．…………分 按照分层抽样方法可知20~30（岁）抽取：（人）；30~40（岁）抽取：（人） …分在上述抽取的6名中, 20~30（岁）有2人，30~40（岁）4人。………8分20~30（岁）；年龄在30~40（岁）， 则从6名任取名的所有情况为: 、、、、、、、、、、、、、、共种情况， …分其中至少有一人年龄在20~30岁情况有：、、、、、、、、、、、、、、，共种情况…………10分记至少有一人年龄在20~30岁为事件，则…11分∴至少有一人年龄在20~30岁之间的概率为。…………分连接交于∵∥平面，面，面面 …分∴∥又为的中点，…分∴为中点∴为中点…5分∴∴；…………分因为所以，…………8分 …………9分在中 …………11分∴ …………12分当时则.令得；令得故的单调递减区间为，单调递增区间为 …………2分②所以， …分当时，，所以在上单调递增当时，，所以在上单调递减…4分则；由①易知函数…5分若对任意的，，使，只需即，所以 …………6分∵函数在区间上不可能恒成立，故要使函数在上无零点，恒成立。即对，恒成立。…7分（）则 …8分，则，∵，∴故函数在区间上单调递减，∴ …9分，∴函数在区间上单调递增，∴ …10分函数在上无零点 …12分（I）∴ (2分)，∴，(3分)∴椭圆标准方程为（分）（II）设P(x，y)，(x1，y1)，(x2，y2)，则由得(x，y)＝(x1，y1)＋ (x2，y2)＝(x1＋x2，y1＋y2)，即x＝x1＋x2，y＝y1＋y2. （分）因为点A、B在椭圆x2＋2y2＝2上，所以x＋2y＝2，x＋2y＝2，（分）故x2＋2y2＝(x＋x＋2x1x2)＋2(y＋y＋2y1y2)＝(x＋2y)＋ (x＋2y)＋2 (x1x2＋2y1y2)＝2＋2+2 (x1x2＋2y1y2)．设kOA，kOB分别为直线OA，OB的斜率，由题设条件知kOA?kOB＝＝－，因此x1x2＋2y1y2＝0，所以x2＋2y2＝2＋2. 即(7分)所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义PF1＋PF2为定值．又因c＝因此两焦点的坐标为F1(－，0)，F2(，0)．F1(－，0)，F2(，0)．PF1＋PF2（分）（Ⅲ）设，有题设可知：由题意可知：，∴③（分）④（分）将③代入④可得：⑤点A，在椭圆x2＋2y2＝2上，∴（分）∴，∴（分） 证明：∵是⊙O的一条切线，为割线， …分∴，…3分又∵，…4分∴；…（分）（Ⅱ）由有，…6分∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE， …7分∴∠ADC=∠ACE， …8分∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE， …9分∴GF∥AC。…（分） 【答案】（I） ；（II） 4.（Ⅰ）∵，∴ （分）∵，（分）∴…（分）（Ⅱ）∵∴直线经过抛物线的焦点。将直线的参数方程曲线C的直角坐标方程， …（分） …（分）∴ …（分）∴ …（分），∴ …（分） 解：（Ⅰ）因为等价于，…分由有解，得，且其解集为．…4分又的解集为，故．…（分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，…分∴≥=9． …分∴…．（1分）EO_AGFDCBPDCAB错误正确侧视图俯视图吉林省吉林市2014届高三下学期第二次模拟考试 数学文
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