2018-2019学年辽宁省葫芦岛市建昌县九年级（上）期中数学试卷
　
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1．（2分）如果（m?1）x2+3x?2=0是一元二次方程，则（　　）
A．m≠0 B．m≠1 C．m=0 D．m=1
2．（2分）下列方程有两个相等的实数根的是（　　）
A．x2+2x+4=0 B．x2+6x?9=0 C．x2?4x+4=0 D．4x2+2x+1=0
3．（2 分）下列函数是二次函数的是（　　）
A．y=x+  B．y=3（x?1）2 C．y=ax2+bx+c D．y= +3x
4．（2分）已知方程x2?14x+48=0的两根恰好是Rt△ABC的两边的长，则Rt△ABC的第三边长为（　　）
A．10 B．2  C．10或2  D．8
5．（2分）在一条直线上有若干个不同的点，共组成45条线段，设共有x个点，则下列方程正确的是（　　）
A．x（x?1）=45 B．  =45 C．x（x+1）=45 D．  =45
6．（2分）抛物线y=?2（x+1）2?4的顶点坐标是（　　）
A．（1，?4） B．（1，4） C．（?1，?4） D．（?1，4）
7．（2分）二次函数y=? （x?1）2? 的最大值为（　　）
A．?  B．  C．1 D．?1
8．（2分）关于x的一元二次方程kx2?2x+1=0有两个实数根，那么实数k的取值范围是（　　）
A．k≤1 B．k＜1且k≠0 C．k≤1且k≠0 D．k≥1
9．（2分）在抛物线y=?2x2?x+1上的一个点是（　　）
A．（1，0） B．（?2，?5） C．（2，?5） D．（?1，3）
10．（2分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，M为AB的中点．动点P在菱形的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x，MP 2=y，则表示y与x的函数关系的图象大致为（　　）
 
A．  B．  C．  D．  ?BR>　
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
11．（2分）二次函数y= （x　   　）2+　   　的图象的顶点坐标是（1，?2）．
12．（2分）一元二次方程（x?2）（x+1）=2x?4化为一般形式是　   　．
13．（2分）把抛物线y=? x2?1向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为　   　．
14．（2分）方程2（x?3）2=x?3的解是　   　．
15．（2分）已知直线y=?x+1与抛物线y=x2+k一个交点的横坐标为?2，则k=　   　．
16．（2分）已知函数y=?2x2?4x+1，当x　   　时，y随x的增大而增大．
17．（2分）从正方形铁片上截去2cm宽的一个长方形，剩余矩形的面积为35cm2，则原来正方形的面积为　   　．
18．（2分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，以下结论：①因为a＜0，所以函数y有最小值；②该函数的图象关于直线x=1对称；③当x=0时，函数y的值等于2；④在本题条件下，一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=?1，x2=3．其中正确的结论有　   　．（填序号）
 
　
三、解答题（本大题共8小题 ，共64分）
19．（6分）用配方法解方程：x2?4x?1=0．
20．（7分）用公式法解方程：x2?3x?5=0．
21．（7分）已知方程x2+x+k=0的一个解是x=?5，求k值及另一个解．
22．（7分）从现在开始到2020年，是全国建成小康社会的决胜期．某村2018年底人均收入为14400元，计划到2018年底达到22500元，求该村人均纯收入的年平均增长率．
23．（7分）如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33m的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的 门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过6米（围栏宽忽略不计）．
（1）每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长；
（2）每个生态园的面积　   　（填“能”或“不能”）达到108平方米．
 
24．（10分）如图，在△AOB中，∠O=90°，AO=18cm，BO=30cm，动点M从点A开始沿边AO以1cm/s的速度向终点O移动，动点N从点O开始沿边OB以2 cm\s的速度向终点B移动，一个点到达终点时，另一个点也停止运动．如果M、N两点分别从A、O两点同时出发，设运动时间为ts时四边形ABNM的面积为Scm2．
（1）求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（2）判断S有最大值还是有最小值，用配方法求出这个值．
 
25．（10分）某宾馆有30个房间供旅客居住，当每个房间每天的定价为120元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
（1）每个房间每天的定价为多少时，宾馆利润最大？
（2）若物价局规定，每个房间每天定价不得超过200元，则该宾馆如何定价，每天能获得最大利润？最大利润是多少？
26．（10分）如图，二次函数y=?x2+bx+c的图象经过A（1，0），B（0，?3）两点．
（1）求这个抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得O、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
 
　
 

2018-2019学年辽宁省葫芦岛市建昌县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1．（2 分）如果（m?1）x2+3x?2=0是一元二次方程，则（　　）
A．m≠0 B．m≠1 C．m=0 D．m=1
【解答】解：由题意m?1≠0，
∴m≠1，
故选B．
　
2．（2分）下列方程有两个相等的实数根的是（　　）
A．x2+2x+4=0 B．x2+6x?9=0 C．x2?4x+4=0 D．4x2+2x+1=0
【解答】解：
A、方程x2+2x+4=0的判别式△=4?4×4=?12＜0，该方程无实数根；
B、方程x2+6x?9=0的判别式△=36?4×（?9）=72＞0，该方程有两个不相等的实数根；
C、方程x2?4x+4=0的判别式△=（?4）2?4×4=0， 该方程有两个相等的实数根；
D、方程4x2+2x+1=0的判别式△=4?4×4=?12＜0，该方程无实数根；
故选C．
　
3．（2分）下列函数是二次函数的是（　　）
A．y=x+  B．y=3（x?1）2 C．y=ax2+bx+c D．y= +3x
【解答】解：A、y=x+ 是一次函数，此选项错误；
B、y=3（x?1）2是二次函数，此选项正确；
C、y=ax2+bx+c不是二次函数，此选项错误；
D、y= +3x不是二次函数，此选项错误；
故选B．
　
4．（2分）已知方程x2?14x+48=0的两根恰好是Rt△ABC的两边的长，则Rt△ABC的第三边长为（　　）
A．10 B．2  C．10或2  D．8
【解答】解：方程x2?14x+48=0的两个根是6和8．也就是Rt△ABC的两条边的长是6和8．
当6和8都是直角边时，第三边= =10．
当8为斜边时，第三边= =2 ．
故第三边长是10或2 ．
故选：C．
　
5．（2分）在一条直线上有若干个不同的点，共组成45条线段，设共有x个点，则下列方程正确的是（　　）
A．x（x?1）=45 B．  =45 C．x（x+1）=45 D．  =45
【解答】解：设共有x个点，根据题意，得
 =45．
故选B．
　
6．（2分）抛物线y=?2（x+1）2?4的顶点坐标是（　　）
A．（1，?4） B．（1，4） C．（?1，?4） D．（?1，4）
【解答】解：∵抛物线的解析式为y=?2（x+1）2?4，
∴抛物线的顶点坐标为（?1，?4）．
故选C．
　
7．（2分）二次函数y=? （x?1）2? 的最大值 为（　　）
A．?  B．  C．1 D．?1
【解答】解：∵二次函数的解析式是y=? （x?1）2? ，
∴该抛物线开口方向向上，且顶点坐标是（1，? ），
∴二次函数y=? （x?1）2? 的最大值为? ，
故选：A．
　
8．（2分）关于x的一元二次方程kx2?2x+1=0有两个实数根，那么实数k的取值范围是（　　）
A．k≤1 B．k＜1且k≠0 C．k≤1且k≠0 D．k≥ 1
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2?2x+1=0有两个实数根，
∴根的判别式△=b2?4ac=4?4k≥0，且k≠0．
即k≤1且k≠0．
故选C．
　
9．（2分）在抛物线y=?2x2?x+1上的一个点是（　　）
A．（1，0） B．（?2，?5） C．（2，?5） D．（?1，3）
【解答】解：A、x=1时，y=?2x2?x+1=?2≠0，点（1，0）不在抛物线上；
B、x=?2时，y=?2x2?x+1=?5，点（?2，?5）在抛物线上；
C、x=2时，y=?2x2?x+1=?9≠?5，点（2，?5）不在抛物线上；
D、x=?1时，y=?2x2?x+1=0≠3，点（?1，3）不在抛物线上．
故选B．
　
10．（2分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，M为AB的中点．动点P在菱形的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x，MP 2=y，则表示y与x的函数关系的图象大致为（　　）
 
A．  B．  C．  D．  ?BR>【解答】解：（1）当0≤x≤ 时，
如图1，过M作ME⊥BC与E，
∵M为AB的中点，AB=2，
∴BM=1，
∵∠B=60°，
∴BE= ，ME= ，PE= ?x，
在Rt△BME中，由勾 股定理得：MP2=ME2+PE2，
∴y=  =x2?x+1；

（2）当 ＜x≤2时
如图2，过M作ME⊥BC与E，
由（1）知BM=1，∠B=60°，
∴BE= ，ME= ，PE=x? ，
∴MP2=ME2+PE2，
∴y=  =x2?x+1；

（3）当2＜x≤4时，
如图3，连结MC，
∵BM=1，BC=AB=2，∠B=60°，
∴∠BMC=90°，MC= = ，
∵AB∥DC，
∴∠MCD=∠BMC=90°，
∴MP2=MC2+PC2，
∴y= =x2?4x+7；综合（1）（2）（3），只有B选项符合题意．
故选B．
 
 
 
　
二、填空题（本 大题共8小题，每小题2分，共16分）
11．（2分）二次函数y= （x　?1　）2+　（?2）　的图象的顶点坐标是（1，?2） ．
【解答】解：二次 函数y= （x?1）2?2的图象的顶点坐标是（1，?2）．
故答案为?1，（?2）．
　
12．（2分）一元二次方程（x?2）（x+1）=2x?4化为一般形式是　x2?3x+2=0　．
【解答】解：（x?2）（x+1）=2x?4
x2?x?2=2x?4，
则一般形式是：x2?3x+2=0，
故答案为：x2?3x+2=0．
　
13．（2分）把抛物线y=? x2?1向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为　y=? （x?2）2+2　．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，?1），向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，那么新抛物线的顶点为（2，2），
可得新抛物线的解析式为：y=? （x?2）2+2，
故答案为：y=? （x?2）2+2．
　
14．（2分）方程2（x?3）2=x?3的解是　x=3或x=3.5　．
【解答】解：∵2（x?3）2?（x?3）=0，
∴（x?3）（2x?7）=0，
则x?3=0或2x?7=0，
解得：x=3或x=3.5，
故答案为：x=3或x=3.5
　
15．（2分）已知直线y=?x+1与抛物线y=x2+k一个交点的横坐标为?2，则k=　?1　．
【解答】解：将x=?2代入直线y=?x+1得，y=2+1=3，
则交点坐标为（?2，3），
将（?2，3）代入y=x2+k得，
3=4+k，
解得k=?1．
故答案为：?1．
　
16．（2分）已知函数y=?2x2?4x+1，当x　＜?1　时，y随x的增大而增大．
【解答】解：∵y=?2x2?4x+1中，对称轴为x=? =? =?1，开口向下，
∴当x＜?1时y随x增大而增大．
故答案为：＜?1．
　
17．（2分）从正方形铁片上截去2cm宽的一个长方形，剩余矩形的面积为35cm2，则原来正方形的面积为　49cm2　．
【解答】解：设正方形边长为xcm，依题意得
x（x?2）=35
整理x2=2x+35
解方程得x1=7，x2=?5（舍去）
所以正方形的边长是7cm，面积是49cm2
故答案是：49cm2．
　
18．（2分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，以下结论：①因为a＜0，所以函数y有最小值；②该函数的图象关于直线x=1对称；③当x=0时，函数y的值等于2；④在本题条件下，一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=?1，x2=3．其中正确的结论有　②③④　．（填序号）
 
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，函数y有最大值；故选项①错误；
由图象可知函数图象对称轴为x=1，故选项②正确；
∵当x=0时，y=2，故选项③正确；，
∵抛物线与x轴的交点为（?1，0）和（3，0）
∴当x=?1或x=3时，函数y的值都等于0，故选项④正确；
故答案为：②③④．
　
三、解答题（本大题共8小题，共64分）
19．（6分）用配方法解方程：x2?4x?1=0．
【解答】解：x2?4x+4=1+4
（x?2）2=5
x=2±
　
20．（7分）用公式法解方程：x2?3x?5=0．
【解答】解：a=1，b=?3，c=?5，△=b2?4ac=9?4×1×（?5）=29，
x= = ，
x1= ，x2= ．
　
21．（7分）已知方程x2+x+k=0的一个解是x=?5，求k值及另一个解．
【解答】解：∵方程x2+x+k=0的一个解是x=?5，
∴25?5+k=0，解得k=?20，
∴方程为x2+x?20=0，
解得x=?5或x=4，
∴k的值为 ?20，方程的另一个解为x=4．
　
22．（7分）从现在开始到2020年，是全国建成小康社会的决胜期．某村2018年底人均收入为14400元，计划到2018年底达到22500元，求该村人均纯收入的年平均增长率．
【解 答】解：设该村人均纯收入的年平均增长率为x，
根据题意得：14400（1+x）2=22500，
解得：x1=0.25=25%，x2=?2.25（舍去）．
答：该村人均纯收入的年平均增长率为25%．
　
23．（7分）如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33m的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过6米（围栏宽忽略不计）．
（1）每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长；
（2）每个生态园的面积　不能　（填“能”或“不能”）达到108平方米．
 
【解答】解：（1）设每个生态园垂直于墙的边长为x米，
根据题意，得：x（33+1.5×2?3x）=48×2，
整理，得：x2?12x+32=0，
解得：x1=4、x2=8（不合题意，舍去），
当x=4时，33+1.5×2?3x=24，
24÷2=12，
答：每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米；

（2）根据题意，得：x（33+1.5×2?3x）=108×2，
整理，得：x2?12x+72=0，
由于△=（?12）2?4×1×72=?144＜0，
所以方程无解，
即每个生态园的面积不能达到108平方米，
故答案为：不能．
　
24．（10分）如图，在△AOB中，∠O=90°，AO=18cm，BO=30cm，动点M从点A开始沿边AO以1cm/s的速度向终点O移动，动点N从点O开始沿边OB以2c m\s的速度向终点B移动，一个点到达终点时，另一个点也停止运动．如果M、N两点分别从A、O两点同时出发，设运动时间为ts时四边形ABNM的面积为Scm2．
（1）求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（2）判断S有最大值还是有最小值，用配方法求出这个值．
 
【解答】解：（1）由题意得，AM=t，ON=2t，则OM=OA?AM=18?t，
四边形ABNM的面积S=△AOB的面积?△MON的面积
= ×18×30? ×（18?t）×2t
=t2?18t+270（0＜t≤15）；
（2）S=t2?18t+270
=t2?18t+81?81+270
=（t?9）2+189，
∵a=1＞0，
∴S有最小值，这个值是189．
　
25．（10分）某宾馆有30个房间供旅客居住，当每个房间每天的定价为120元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
（1）每个房间每天的定价为多少时，宾馆利润最大？
（2）若物价局规定，每个房间每天定价不得超过200元，则该宾馆如何定价，每天能获得最大利润？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设每个房间的每天的定价为x元时，宾馆的利润为w元，
根据题意，得：w=（x?20）（30? ）
=? x2+44x?840
=? （x?220）2+4000，
∴每个房间每天的定价为220元时，宾馆利润最大；

（2）由（1）知，w=? （x?220）2+4000，
∵a=? ＜0，
∴当x＜220时，w随x的增大而增大，
∴当x=200时，w最大，此时w=? （200?220）2+4000=3600，
答：该宾馆定价为200元时，每天能获得最大利润，最大利润是3600元．
　
26．（10分）如图，二次函数y=?x2+bx+c的图象经过A（1，0），B（0，?3）两点．
（1）求这个抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得O、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
 
【解答】解：（1）∵二次函数y=?x2+bx+c的图象经过A（1，0），B（0，?3）两点，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y=?x2+4x?3，
即y=?（x?2）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，1）；

（2）由（1）可得，C（2，0），
又∵A（1，0），B（0，?3），
∴OC=2，OA=1，OB=3，
∴AC=1，
∴△ABC的面积= AC×OB= ×1×3= ．

（3）存在，P点有2个，坐标为P1（2，3），P2（2，?3）．
如图，当四边形OBCP1是平行四边形时，CP1=OB=3，而OC=2，
故P1（2，3）；
 
当四边形OBP2C是平行四边形时，CP2=OB=3，而OC=2，
故P2（2，?3）．

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