2018-2019学年福建省泉州市惠安县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）方程x2?16=0的解是（ ）
A．x=4 B．x1=4，x2=?4 C．x=8 D．x1=8，x2=?8
4．（4分）一元二次方程x2?6x?6=0配方后化为（ ）
A．（x?3）2=15 B．（x?3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=3
5．（4分）顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形
6．（4分）若 = ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．（4分）如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A． B． C．∠B=∠D D．∠C=∠AED
8．（4分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由56 0元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．560（1+x）2=315 B．560（1?x）2=315 C．560（1?2x）2=315 D．560（1?x2）=315
9．（4分）如图，点D在△ABC的边AC上，若CD=2，AC=6，且△CDB∽△CBA，则BC的值为（ ）
A．3 B．2 C．6 D．12
10．（4分）已知P=x2?3x，Q=x?5（x为任意实数），则P、Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．无法确定
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（4分）如果两个相似三角形对应高的比是3：2，那么它们的面积比是 ．
13．（4分）如果一个4米高的旗杆在太阳光下的影长为6 米，同它临近的一个建筑物的影长是24米，那么这个建筑物的高度是 米
14．（4分）若x1，x2是一元二次方程x2+2x?1=0的两个根，则（x1+1）（x2+1）的值是 ．
15．（4分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若AB=1，BC=3，DE=2，则DF的长为 ．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC= ．（结果保留根号）
三、解答题（共86分）
17．（8分）计算： ÷ + × ?
18．（8分）先化简，再求值：（1? ）÷ ，其中a= +1
19．（8分）用配 方法解方程：3x2?6x+2=0．
20．（8分）为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求两岸间的大致距离AB．
21．（8分）如图，在方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标为 （?3，5）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以点A为位似中心，将△ABC放大到2倍得到△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标．
22．（10分）已知关于x的方程x2+2x+a?2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
23．（10分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
24．（13分）如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转，PM交边AB于点E，PN交边AD于点F，当PE旋转至PA处时，∠MPN的旋转随即停止．
（1）如图2，在旋转中发现当PM经过点A时，PN也经过点D，求证：△ABP∽△PCD；
（2）如图3，在旋转过程中， 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）设AE=m，连结EF，则在旋转过程中，当m为何值时，△BPE与△PEF相似．
25．（13分）如图，已知一次函数y=?x+7与正比例函数y= x的图象交于点A，且与x轴交于点B，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，沿O→C→A的路线以每秒1个单位的速度向点A运动；同时点R从点B出发，以相同的速度向点O运动，在运动过程中，过点R作直线l⊥x轴，交线段AB或AO于点Q．当点P到达点A时，点P 和点R都停止运动．在运动过程中，设动点P的运动时间为t秒（t＞0）
（1）求点A与点B的坐标；
（2）若点P在线段OC上运动，当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
（3）若点P线段CA上运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2018-2019学年福建省泉州市惠安县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）下列根式 是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、 =2 ，此选项不符合题意；
B、 = ，此选项不符合题意；
C、 = ，此选项不符合题意；
D、 是最简二次根式，此选项符合题意；
故选：D．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、 =3，此选项错误；
B、 =2，此选项正确；
C、 + =2 ，此选项错误；
D、 + = + ，此选项错误．
故选：B．
3．（4分）方程x2?16=0的解是（ ）
A．x=4 B．x1=4，x2=?4 C．x=8 D．x1=8，x2=?8
【解答】解：x2?16=0
x2 =16，
∴x=±4，
∴x1=?4，x2=4，
故选：B．
4．（4分）一元二次方程x2?6x?6=0配方后化为（ ）
A．（x?3）2=15 B．（x?3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=3
【解答】解：方程整理得：x2?6x=6，
配方得：x2?6x+9=15，即（x?3）2=15，
故选：A．
5．（4分）顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形
【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，
∴EF=GH= AC，FG=EH= BD（三角形的中位线等于第三边的一半），
∵矩形ABCD的对角线AC=BD，
∴EF=GH=FG=EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故选：B．
6．（4分）若 = ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【解答】解：∵ = ，
∴设x=3k，y=4k，
∴ = = ．
故选：D．
7．（4分）如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A． B． C．∠B=∠D D．∠C=∠AED
【解答】解：∵∠1=∠2
∴∠DAE=∠BAC
∴A，C，D都可判定△ABC∽△ADE
选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：B．
8．（4分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．560（1+x）2=315 B．560（1?x）2=315 C．560（1?2x）2=315 D．560（1?x2）=315
【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
560（1?x）2=315，
故选：B．
9．（4分）如图，点D在△ABC的边AC上，若CD=2，AC=6，且△CDB∽△CBA，则BC的值为（ ）
A．3 B．2 C．6 D．12
【解答】解：∵△CDB∽△CBA，
∴CD：CB=CB：CA，
∴BC2=CD•CA=2×6=12．
∴BC=2 ，
故选：B．
10．（4分）已知P=x2?3x，Q=x?5（x为任意实数），则P、Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．无法确定
【解答】解：P?Q=x2?3x?x+5
=x2?4x+5
=（x?2）2+1≥1
∴P＞Q
故选：A．
二 、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥3 ．
【解答】解：∵代数式 在实数范围内有意义，
∴x?3≥0，
解得：x≥3，
∴x的取值范围是：x≥3．
故答案为：x≥3．
12．（4分）如果两个相似三角形对应高的比是3：2，那么它们的面积比是 9：4 ．
【解答】解：∵两个相似三角形对应高的比是3：2，
∴它们的相似比是3：2，
∴它们的面积比是9：4．
故答案为：9：4．
13．（4分）如果一个4米高的旗杆在太阳光 下的影长为6米，同它临近的一个建筑物的影长是24米，那么这个建筑物的高度是 16 米
【解答】解：设建筑物的高为h米，由题意可得：
则4：6=h：24，
解得：h=16（米）．
故答案为：16．
14．（4分）若x1，x2是一元二次方程x2+2x?1=0的两个根，则（x1+1）（x2+1）的值是 ?2 ．
【解答】解：
∵x1，x2是一元二次方程x2+2x?1=0的两个根，
∴x1+x2=?2，x1x2=?1，
∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=?1+（?2）+1=?2，
故答案为：?2．
15．（4分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若AB=1，BC=3，DE=2，则DF的长为 8 ．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴ ，
∴ ，
∴EF=6，
∴DF=EF+DE=8，
故答案为：8；
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF =2FC，则BC= ．（结果保留根号）
【解答】解：延长EF和BC，交于点G
∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴AB=AE=9，
∴直角三角形ABE中，BE= = ，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG=∠DEF
∵AD∥BC
∴∠G=∠DEF
∴∠BEG=∠G
∴BG=BE=
由∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，可得△EFD∽△GFC
∴
设CG=x，DE=2x，则AD=9+2x=BC
∵BG=BC+CG
∴ =9+2x+x
解得x=
∴BC=9+2（ ?3）=
故答案为：
三、解答题（共86分）
17．（8分）计算： ÷ + × ?
【解答】解：原式=4+ ?
=4+2 ?3
=4?
18．（8分）先化简，再求值：（1? ）÷ ，其中a= +1
【解答】解：原式= ÷
= •
= ，
当a= +1时，
原式= = = ．
19．（8分）用配方法解方程：3x2?6x+2=0．
【解答】解：移项，得
3x2?6x=?2，
二次项系数化为1，得
x2?2x=? ，
配方，得
（x?1）2= ，
开方，得
x1= ，x2= ．
20．（8分）为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求两岸间的大致距离AB．
【解答】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴ ， ，
解得= （米）．
答：两岸间的大致距离为100米．
21．（8分）如图，在方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标为 （?3，5）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以点A为位似中心，将△ABC放大到2倍得到△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（1，?3）．
22．（10分）已知关于x的方程x2+2x+a?2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
【解答】解：（1）∵b2?4ac=（2）2?4×1×（a?2）=12?4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得： ，
则a的值是?1，该方程的另一根为?3．
23．（10分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 2x 件，每件商品盈利 （50?x） 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
【解答】解：（1） 降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50?x，故答案为2x；50?x；
（2）由题意得：（50?x）（30+2x）=2100（0≤x＜50）
化简得：x2?35x+300=0，即（x?15）（x?20）=0，
解得：x1=15，x2=20
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x=20，
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．
24．（13分）如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转，PM交边AB于点E，PN交边AD于点F，当PE旋转至PA处时，∠MPN的旋转随即停止．
（1）如图2，在旋转中发现当PM经过点A时，PN也经过点D，求证：△ABP∽△PCD；
（2）如图3，在旋转过程中， 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）设AE=m，连结EF，则在旋转过程中，当m为何值时，△BPE与△PEF相似．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAP+∠BPA=90°，
∵∠MPN=90°，
∴∠CPD+∠BPA=90°，
∴∠BAP=∠CPD，
∴△ABP∽△PC D；
（2） 的值为定值．
如图，过点F作FG⊥BC于G，
∴∠FGP=90°，
∴∠FGP=∠B，∠PFG+∠FPG=90°，
易知四边形ABGF是矩形，
∴FG=AB=2，
∵∠MPN=90°，
∴∠EPB+∠FPG=90°，
∴∠EPB=∠FPG，
∴△EBP∽△PGF，
∴ = = ，
∴ 的值是定值，该定值为 ；
（3）∵AE=m，
∴BE=2?m，
①当 时，∵∠B=∠EPF=90°，
∴△BPE∽△PFE，
∴ ，
∴ ，
∴m= ；
②当 时，∵∠B=∠EPF=90°，
∴△BPE∽△PEF，
∴ ，
∴ ，
∴m=0，
综上，当m=0或 时，△BPE与△PEF相似．
25．（13分）如图，已知一次函数y=?x+7与正比例函数y= x的图象交于点A，且与x轴交于点B，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，沿O→C→A的路线以每秒1个单位的速度向点A运动；同时点R从点B出发，以相同的速度向点O运动，在运动过程中，过点R作直线l⊥x轴，交线段AB或AO于点Q．当点P到达点A时，点P 和点R都停止运动．在运动过程中，设动点P的运动时间为t秒（t＞0）
（1）求点A与点B的坐标；
（2）若点P在线段OC上运动，当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
（3）若点P线段CA上运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵一次函数y=?x+7与正比例函数y= x的图象交于点A，且与x轴交于点B．
∴ ，
解得： ，
∴A点坐标为：（3，4）；
∵y=?x+7=0，
解得：x=7，
∴B点坐标为：（7，0）．
（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4时，PO=t，PC=4?t，BR=t，OR=7?t，
∵当以A、P、R为顶点的三角形的面积为8，
∴S梯形ACOB?S△ACP?S△POR?S△ARB=8，
∴ （AC+BO）×CO? AC×CP? PO×RO? AM×BR=8，
∴（AC+BO）×CO?AC×CP?PO×RO?AM×BR=16，
∴（3+7）×4?3×（4?t）?t×（7?t）?4t=16，
∴t2?8t+12=0，
解得：t1=2，t2=6（舍去），
当t=4时，无法构成三角形，
当4＜t＜7时，S△APR= AP×OC=2（7?t）=8，解得t=3，不符合4＜t＜7；
综上所述，当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8；
②存在．延长CA到直线l交于一点D，当l与AB相交于Q，
∵一次函 数y=?x+7与x轴交于（7，0）点，与y轴交于（0，7）点，
∴NO=OB，
∴∠OBN=∠ONB=45°，
∵直线l∥y轴，
∴RQ=RB，CD⊥L，
当0≤t＜4时，如图1，
RB=OP=QR=t，DQ =AD=（4?t），AC=3，PC=4?t，
∵以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，则AP=AQ，
∴AC2+PC2=AP2=AQ2=2AD2，
∴9+（4?t）2=2（4?t）2，解得：t1=1，t2=7（舍去），
当AP=PQ时 32+（4?t）2=（7?t）2，
解得t=4 （舍去）
当PQ=AQ时，2（4?t）2=（7?t）2，
解得t1=1+3 （舍去），t2=1?3 （舍去），
当t=4时，无法构成三角形，
当4＜t＜7时，如图（备用图），过A作AD⊥OB于D，则AD=BD=4，
设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t?4，AP=7?t，
由cos∠OAC= = ，
得AQ= （t?4），
若AQ=AP，则 （t?4）=7?t，解得t= ，
当AQ=PQ时，AE=PE， 即AE= AP，
得t?4= （7?t），
解得：t=5，
当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于F，
AF= AQ= × （t?4），
在Rt△APF中，由cos∠PAF= = ，
得AF= AP，
即 × （t?4）= （7?t），
解得：t= ．
综上所述，当t=1、5、 、 秒时，存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．
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