第10章《二元一次方程组》单元综合检测
一、选择题(每题4分，共24分)
1.二元一次方程 的非负整数解共有( )
A.1对 B. 2对 C.3对 D. 4对
2.已知方程组 的解是二元一次方程 的一个解，那么 的值为( )
A. B. C. D.
3.若方程 的两个解是 ， ，则 的值分别为( )
A. B.
C. D.
4.方程组 的解为 ，则方程组 的解为( )
A. B.
C. D.
5.要把一张面值20元的人民币换成零钱，现有足够的面值为1元、5元人民币，那么共有( )
A. 2种换法 B. 3种换法
C. 4种换法 D. 5种换法
6.对于代数式 ( 是常数)，当 分别等于 时，小虎同学依次求得下面四个结果: ，其中只有一个是错误的，则错误的结果是( )
A. B. C. D.
二、填空题(每题4分，共16分)
7.已知关于 的二元一次方程 ，当 每取一个不同值时， 都表示一个不同的方程，若这些方程有.一个公共解，则这个公共解是 .
8.若关于 的方程 有一组解为 ， 比 的一半大1，则 的值分别为 .
9.小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1;小红看见了，说:“我也来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为5 mm的小正方形，则每个小长方形的面积为 mm2.
10.如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍.如果搭建正三角形和正六边形共用了2 016根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6，那么能连续搭建正三角形的个数是 .
三、解答题(共60分)
11.(8分)解下列方程组:
(1)
(2)
12.(8分)已知关于 的二元一次方程组 的解满足二元一次方程 ，求 的值.
13.(10分)仙鹤和乌龟是动物中的长寿星，一天鹤父、鹤女与龟祖、龟孙在聊天，它们发现鹤父的年龄是鹤女的2倍，龟祖的年龄是龟孙的5倍，它们四位的年龄和的3倍恰好是900岁，十年后，鹤父和鹤女年龄之和的5倍加上龟祖、龟孙的年龄也是900岁，试求它们的年龄.
14.已知关于 的方程组
(1)请写出方程 的所有正整数解;
(2)若方程组的解满足 ，求 的值;
(3)如果方程组有整数解，求整数 的值.
15.(11分)两个自行车队员进行训练，训练时1号队员与2号队员都以35 km/h的速度前进.突然，1号队员以45 km/h的速度离队独自行进，行进16 km后调转车头，仍以45 km/h的速度往回骑，直到与2号队员会合.
(1)1号队员从离队开始到与2号队员重新会合，经过了多长时间?
(2)1号队员从离队开始到与2号队员重新会合这个过程中，经过多长时间与2号队员相距1 km?
16.(12分)硫酸厂接到一批订单，急需一批质量分数为60%的硫酸1 200吨，厂长高兴地叫来生产科长告诉他快去准备.可生产科长一听就发愁了，说:“我们有一大批质量分数为70%和质量分数为55%的硫酸，却没有质量分数为60%的硫酸，如果现在生产恐怕来不及了.”厂长一听就火:“我们已经签了合同，又收了人家的钱，如果到期交不了货，还得赔违约金，搞不好，这个月连工资都发不了，快去想想办法.”
生产科长愁眉苦脸回到车间，技术员小张忙过来询问发生了什么事，听科长一说，小张想了想，又拿出纸笔算了算，高兴地说:“科长，我们可以用现有的两种硫酸去配制呀!”“对呀，怎么我没想到呢?快来，我们仔细算一算.”
那么你知道这两种硫酸各需多少吨，才能配制成质量分数为60%的硫酸1 200吨吗?
【拓展训练】
拓展点:1.含绝对值的二元一次方程组的解
2.当二元一次方程组无解时，求字母的值
1.方程组 的解的个数是( )
A.1 B. 2 C.3 D. 4
2.阅读材料:写出二元一次方程 的几个解: ， ， ，……，发现这些解的一般形式可表示为 ( 为有理数).把一般形式再变形为 可得 ，整理得原方程
根据材料解答下列问题:若二元一次方程 的解可以写成 ( 为有理数)，则 .
3.若方程组 无解，则 的值为 .
4.阅读下列材料，然后解答后面的问题.
我们知道方程 有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解.例:由 ，得 ( 为正整数)
因为 为正整数，所以 为整数
由2与3互质，可知 为3的倍数，从而 ，代入 ，得 .
所以 的正整数解为
问题(1)若 为自然数，则满足条件的 值有 个;
(2)请你写出方程 的所有正整数解;
(3)若 ，请用含 的式子表示 ，并求出它的所有正整数解.
5.东方公园的门票价格如下表所示:
购票人数 1～50人 51～100人 100人以上
每人门票价 13元 11元 9元
某校七年级(1)(2)两个班去游览东方公园，其中(1)班人数较少，不足50人，(2)班人数较多，有50多人，但两个班合起来超过100人.如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1 240元;如果两个班联合起来，作为一个团体购票，则只需付936元.
(1)列方程或方程组求出两个班各有多少学生?
(2)如果两个班不联合买票，是不是七年级(1)班的学生非要买13元的票呢?你有什么省钱方式来帮他们买票呢?说说你的理由.
(3)你认为是否存在这样的可能:51～100人之间买票的钱数与100人以上买票的钱数相等?如果有，是多少人与多少人买票钱数相等?
参考答案
1. D 2. A 3. A 4. C 5. D 6. B
7.
8.
9.
10.
11.(1)
① ②，得
解得
把 代入①，得
所以原方程组的解为
(2)原方程组可化为
①×2+②，得
解得
把 代入①，得
解得
所以原方程组的解为
12. 由题意得三元一次方程组
整理，得
①+② ③，得
即 ④
①×3 ②×2，得
即 ⑤
由④⑤，得
解得
13.设鹤女的年龄为 岁，鹤父的年龄为 岁，龟孙的年龄为 岁，龟祖的年龄为 岁
由题意，得
方程组可整理为
解得
答:鹤女的年龄为40岁、鹤父的年龄为80岁、龟孙的年龄为30岁、龟祖的年龄为150岁.
14. (1)由方程 ，可得
当 时，
当 时，
所以方程 的所有正整数解为 ，
(2)联立 ，解得
把 代入 ，得
解得
(3)
①+②，得
解得
把 代入①，得
当 时， 为整数，此时
当 时， ，不合题意
当 时， ，不合题意
当 时， ，不合题意
当 时， ，不合题意
当 时， ，符合题意
当 时， ，符合题意
综上所述，整数 的值为 或
15.(1)设经过 h
由题意，得
解得
答:经过了0. 4 h.
(2)设经过 h与2号队员相距1 km.
分两种情况:
当两队员同向时，根据题意，得
解得
当两队员反向时，根据题意，得
解得
答:经过0. 1 h或0. 3875h与2号队员相距1 km.
16.设需要 吨质量分数为70%的硫酸和 吨质量分数为55%的硫酸.
根据题意得，
由②得， ③
①×0.7得， ④
④ ③得，
解得
所以
所以
所以需要400吨质量分数为70%的硫酸，800吨质量分数为55 %的硫酸.
【拓展训练】
1. A
2.
3.
4. (1)4
(2)由方程 ，得
当 时，
当 时，
所以方程 的所有正整数解为 ，
(3)根据题意，得
因为 均为正整数，所以 为正整数
则
解得
相应
所以 的所有正整数解为 ，
5.(1)设七年级(1)(2)两个班各有学生 人
则由题意，得
解得
答:七年级(1)班有学生48人，(2)班有学生56人.
(2)七年级(1)班的学生不一定非要买13元的票.理由如下:
由(1)可知七年级(1)班48人，只需多买3张票
所以48人买51人的票可以更省钱、
(3)设51～100人之间有 人，100人以上有 人.
假设存在买票钱数相等的状况，就是满足
因为
所以符合题意的正整数解为 ，
所以90人与110人，99人与121人买票钱数相等.
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