最新高一数学暑假作业练习

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三、解答题(本大题共4题，满分48分8’+12’ +12’+16’=48’)

17. 已知 ，求 的最大值

【解】由已知条件有 且 (结合 )

得 ，而 = =

令 则原式=

根据二次函数配方得：当 即 时，原式取得最大值 。

18. 已知函数f(x)= sin 2x-cos2x- ，x∈R.

(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期;

(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c= ，f(C)=0，若sin B=2sin A，求a，b的值.

【答案】(1)-2 π (2)a=1且b=2

(2)f(C)=sin(2C- )-1=0，则sin(2C- )=1.

∵0

∴- <2C- < π，因此2C- = ，∴C= .

∵sin B=2sin A及正弦定理，得b=2a.①

由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcos ，且c= ，

∴a2+b2-ab=3，②

由①②联立，得a=1且b=2.

19. 在等差数列 中， ， .令 ，数列 的前 项和为 .

(1)求数列 的通项公式;

(2)求数列 的前 项和 ;

(3)是否存在正整数 ， ( ),使得 ， ， 成等比数列?若存在，求出所有的 ， 的值;若不存在，请说明理由.

试题解析：(1)设数列 的公差为 ，由 得

解得 ，

∴

(2)∵

∴

(3)由(1)知， ， ，

假设存在正整数 、 ，使得 、 、 成等比数列，

则 ， 即

经化简，得

∴

∴ (*)

当 时，(*)式可化为 ，所以

当 时，

又∵ ，∴(*)式可化为 ，所以此时 无正整数解.

综上可知，存在满足条件的正整数 、 ，此时 ， .

20. 已知函数 ，数列 满足对于一切 有 ，

且 .数列 满足 ，

设 .

(1)求证：数列 为等比数列，并指出公比;

(2)若 ，求数列 的通项公式;

(3)若 ( 为常数)，求数列 从第几项起，后面的项都满足 .

解(1)

故数列 为等比数列，公比为3.

(Ⅱ)

所以数列 是以 为首项,公差为 loga3的等差数列.

又

又 =1+3 ,且

(Ⅲ)

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